Номер 34, страница 162 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 34, страница 162.

Условие.

21.34. Площадь осевого сечения цилиндра равна S. Найдите площадь сечения цилиндра, которое параллельно его оси и удалено от неё на расстояние, составляющее:

1) половину радиуса основания;

2) $ \frac{4}{5} $ радиуса основания.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, проходящий через ось цилиндра. Его стороны равны диаметру основания $2R$ и высоте $h$. Площадь осевого сечения $S$ задана и равна: $S = 2R \cdot h$

Сечение, параллельное оси цилиндра, также является прямоугольником. Одна его сторона равна высоте цилиндра $h$, а другая — хорде $a$ в круге основания. Площадь этого сечения, которую мы ищем, $S_{сеч}$, равна: $S_{сеч} = a \cdot h$

Чтобы найти длину хорды $a$, рассмотрим вид сверху на основание цилиндра. Мы имеем окружность радиуса $R$. Хорда $a$ находится на расстоянии $d$ от центра. Радиус, проведенный к одному из концов хорды, расстояние $d$ от центра до хорды и половина хорды $(\frac{a}{2})$ образуют прямоугольный треугольник, где радиус $R$ является гипотенузой.

По теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2$

Из этого уравнения выразим длину хорды $a$: $(\frac{a}{2})^2 = R^2 - d^2$ $\frac{a}{2} = \sqrt{R^2 - d^2}$ $a = 2\sqrt{R^2 - d^2}$

Теперь подставим это выражение для $a$ в формулу площади искомого сечения: $S_{сеч} = (2\sqrt{R^2 - d^2}) \cdot h$

Чтобы связать $S_{сеч}$ с $S$, выразим $h$ из формулы для $S$: $h = \frac{S}{2R}$. Подставим $h$ в формулу для $S_{сеч}$: $S_{сеч} = 2\sqrt{R^2 - d^2} \cdot \frac{S}{2R} = S \cdot \frac{\sqrt{R^2 - d^2}}{R}$ Внесем $R$ под корень: $S_{сеч} = S \cdot \sqrt{\frac{R^2 - d^2}{R^2}} = S \cdot \sqrt{1 - (\frac{d}{R})^2}$

Теперь, используя эту общую формулу, решим обе части задачи.

1) Расстояние до сечения составляет половину радиуса основания.

В этом случае $d = \frac{1}{2}R$, или $\frac{d}{R} = \frac{1}{2}$. Подставляем это значение в выведенную формулу: $S_{сеч} = S \cdot \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = S \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = S \cdot \sqrt{\frac{3}{4}} = S \frac{\sqrt{3}}{2}$
Ответ: $S \frac{\sqrt{3}}{2}$

2) Расстояние до сечения составляет $\frac{4}{5}$ радиуса основания.

В этом случае $d = \frac{4}{5}R$, или $\frac{d}{R} = \frac{4}{5}$. Подставляем это значение в формулу: $S_{сеч} = S \cdot \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = S \cdot \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = S \cdot \sqrt{\frac{9}{25}} = S \cdot \frac{3}{5}$
Ответ: $\frac{3}{5}S$