Номер 33, страница 162 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 33, страница 162.

Условие.

21.33. В цилиндре проведено сечение, параллельное его оси и отстоящее от неё на 3 см. Диагональ сечения равна 16 см и образует с плоскостью основания цилиндра угол $60^\circ$. Найдите радиус основания цилиндра.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть в цилиндре проведено сечение, параллельное его оси. Такое сечение является прямоугольником. Обозначим его вершины $ABCD$, где $A$ и $B$ лежат на окружности нижнего основания, а $C$ и $D$ — на окружности верхнего основания.

Диагональ этого прямоугольника по условию равна $AC = 16$ см. Угол, который диагональ образует с плоскостью основания, — это угол между самой диагональю $AC$ и её проекцией на эту плоскость. Проекцией диагонали $AC$ на плоскость нижнего основания является сторона прямоугольника $AB$. Таким образом, угол $\angle CAB = 60^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как образующая $BC$ перпендикулярна плоскости основания, то треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle B$. В этом треугольнике мы можем найти длину катета $AB$, который является хордой в основании цилиндра:$AB = AC \cdot \cos(\angle CAB) = 16 \cdot \cos(60^{\circ}) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$ см.

Теперь рассмотрим основание цилиндра. Это круг с центром $O$ и искомым радиусом $R$. $AB$ — хорда этого круга длиной 8 см. Расстояние от оси цилиндра до сечения — это длина перпендикуляра, опущенного из центра основания $O$ на хорду $AB$. Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с хордой как $M$. По условию, $OM = 3$ см.

В треугольнике $\triangle OAB$ стороны $OA$ и $OB$ равны радиусу $R$, значит, он равнобедренный. Высота $OM$, проведенная к основанию $AB$, является также и медианой. Следовательно, точка $M$ делит хорду $AB$ пополам:$AM = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы $OA$ равен сумме квадратов катетов $OM$ и $AM$:$OA^2 = OM^2 + AM^2$$R^2 = 3^2 + 4^2$$R^2 = 9 + 16$$R^2 = 25$$R = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.