Номер 28, страница 161 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 28, страница 161.

Условие.

21.28.Точка $M(1; -4; 2)$ – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость $\alpha$. Составьте уравнение плоскости $\alpha$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $O(0; 0; 0)$ — начало координат. По условию, точка $M(1; -4; 2)$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $\alpha$. Это означает, что вектор $\vec{OM}$ перпендикулярен плоскости $\alpha$ и, следовательно, является ее вектором нормали $\vec{n}$.

Найдем координаты вектора нормали $\vec{n}$:

$\vec{n} = \vec{OM} = (1 - 0; -4 - 0; 2 - 0) = (1; -4; 2)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ и имеющей вектор нормали $\vec{n}=(A; B; C)$, имеет вид:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

В нашем случае плоскость $\alpha$ проходит через точку $M(1; -4; 2)$ и имеет вектор нормали $\vec{n}=(1; -4; 2)$. Подставим эти данные в уравнение:

$1 \cdot (x - 1) + (-4) \cdot (y - (-4)) + 2 \cdot (z - 2) = 0$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$x - 1 - 4(y + 4) + 2z - 4 = 0$

$x - 1 - 4y - 16 + 2z - 4 = 0$

Приведем подобные слагаемые, чтобы получить окончательное уравнение плоскости:

$x - 4y + 2z - 21 = 0$.

Ответ: $x - 4y + 2z - 21 = 0$.