Номер 21, страница 161 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 21, страница 161.

Условие.

21.21. Найдите угол между вектором $\vec{a}(-1; 2; 5)$ и положительным направлением оси абсцисс.

Решение 1.

Решение 3.

Угол между вектором и положительным направлением оси координат — это угол между данным вектором и единичным вектором, сонаправленным с этой осью.

Данный вектор: $\vec{a} = (-1; 2; 5)$.

Положительному направлению оси абсцисс (оси Ox) соответствует единичный направляющий вектор $\vec{i} = (1; 0; 0)$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{i}$ вычисляется по формуле скалярного произведения:

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{i}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{i}|}$

Сначала вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{a} \cdot \vec{i} = a_x \cdot i_x + a_y \cdot i_y + a_z \cdot i_z = (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 = -1$

Теперь вычислим длины (модули) векторов:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30}$

$|\vec{i}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \alpha = \frac{-1}{\sqrt{30} \cdot 1} = -\frac{1}{\sqrt{30}}$

Следовательно, искомый угол $\alpha$ равен арккосинусу этого значения:

$\alpha = \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{30}}\right)$

Ответ: $\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{30}}\right)$.