Номер 20, страница 161 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 20, страница 161.

Условие.

21.20. Найдите координаты вектора $\vec{m}$, коллинеарного вектору $\vec{n} (1; -2; 1)$, если $\vec{m} \cdot \vec{n} = -3$.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ коллинеарны, то существует такое действительное число $k$, что выполняется равенство $\vec{m} = k \cdot \vec{n}$.

Известно, что вектор $\vec{n}$ имеет координаты $(1; -2; 1)$. Тогда координаты вектора $\vec{m}$ можно выразить через коэффициент $k$:

$\vec{m} = (k \cdot 1; k \cdot (-2); k \cdot 1) = (k; -2k; k)$.

По условию задачи, скалярное произведение векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$ равно -3:

$\vec{m} \cdot \vec{n} = -3$.

Скалярное произведение векторов в координатах равно сумме произведений их соответствующих координат. Запишем это для векторов $\vec{m}(k; -2k; k)$ и $\vec{n}(1; -2; 1)$:

$\vec{m} \cdot \vec{n} = (k)(1) + (-2k)(-2) + (k)(1) = k + 4k + k = 6k$.

Теперь приравняем полученное выражение к заданному значению скалярного произведения:

$6k = -3$

Решим уравнение относительно $k$:

$k = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$

Найдя значение $k$, мы можем определить координаты вектора $\vec{m}$, подставив $k$ в его координатное представление:

$\vec{m} = (-\frac{1}{2}; -2 \cdot (-\frac{1}{2}); -\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2}; 1; -\frac{1}{2})$.

Ответ: $(-\frac{1}{2}; 1; -\frac{1}{2})$.