Номер 16, страница 161 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 16, страница 161.

Условие.

21.16. Точка $O$ - центр основания правильной пирамиды $DABC$. Выразите вектор $\overrightarrow{DO}$ через векторы $\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{CB}$ и $\overrightarrow{CD}$.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку пирамида $DABC$ — правильная, в ее основании лежит правильный (равносторонний) треугольник $ABC$. Точка $O$ является центром этого треугольника, а значит, и точкой пересечения его медиан (центроидом).

Для того чтобы выразить вектор $\vec{DO}$, представим его как сумму векторов по правилу ломаной, выбрав в качестве промежуточной точки вершину $C$, так как данные нам векторы $\vec{CA}$, $\vec{CB}$ и $\vec{CD}$ имеют общее начало или конец в этой точке.

$\vec{DO} = \vec{DC} + \vec{CO}$

Рассмотрим каждый из векторов в этой сумме:

1. Вектор $\vec{DC}$ является противоположным вектору $\vec{CD}$, поэтому:

$\vec{DC} = -\vec{CD}$

2. Вектор $\vec{CO}$ соединяет вершину основания $C$ с его центром $O$. Поскольку $O$ — центроид треугольника $ABC$, ее радиус-вектор, проведенный из вершины $C$, выражается через векторы, проведенные из той же вершины к двум другим, по следующей формуле:

$\vec{CO} = \frac{1}{3}(\vec{CA} + \vec{CB} + \vec{CC})$

Так как вектор $\vec{CC}$ является нулевым вектором ($\vec{CC} = \vec{0}$), получаем:

$\vec{CO} = \frac{1}{3}(\vec{CA} + \vec{CB})$

Теперь подставим полученные выражения для $\vec{DC}$ и $\vec{CO}$ в исходную формулу для $\vec{DO}$:

$\vec{DO} = -\vec{CD} + \frac{1}{3}(\vec{CA} + \vec{CB})$

Переставим слагаемые для удобства:

$\vec{DO} = \frac{1}{3}\vec{CA} + \frac{1}{3}\vec{CB} - \vec{CD}$

Ответ: $\vec{DO} = \frac{1}{3}\vec{CA} + \frac{1}{3}\vec{CB} - \vec{CD}$