Номер 12, страница 160 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 12, страница 160.

Условие.

21.12. Векторы $\vec{a} (x; 3; -4)$ и $\vec{b} (20; -12; 16)$ лежат на противоположных сторонах параллелограмма. Найдите значение $x$.

Решение 1.

Решение 3.

По условию задачи, векторы $\vec{a}(x; 3; -4)$ и $\vec{b}(20; -12; 16)$ лежат на противоположных сторонах параллелограмма.

Противоположные стороны параллелограмма параллельны. Это означает, что векторы, лежащие на этих сторонах, являются коллинеарными.

Условием коллинеарности двух ненулевых векторов является пропорциональность их соответствующих координат. То есть, для векторов $\vec{a}(a_x; a_y; a_z)$ и $\vec{b}(b_x; b_y; b_z)$ существует такое число $k$, что $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$, или в координатной форме:

$b_x = k \cdot a_x$
$b_y = k \cdot a_y$
$b_z = k \cdot a_z$

Если все координаты вектора $\vec{a}$ ненулевые, это условие можно записать в виде пропорции:

$\frac{b_x}{a_x} = \frac{b_y}{a_y} = \frac{b_z}{a_z} = k$

Подставим координаты данных векторов в это соотношение:

$\frac{20}{x} = \frac{-12}{3} = \frac{16}{-4}$

Сначала найдем значение коэффициента пропорциональности $k$ из известных координат:

$k = \frac{-12}{3} = -4$

$k = \frac{16}{-4} = -4$

Так как значения $k$ совпадают, векторы действительно коллинеарны. Теперь, используя найденное значение $k$, мы можем найти неизвестную координату $x$:

$\frac{20}{x} = -4$

Отсюда выражаем $x$:

$20 = -4x$

$x = \frac{20}{-4}$

$x = -5$

Ответ: -5