Номер 13, страница 161 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 13, страница 161.

Условие.

21.13. Даны точки $A (-4; 1; 2)$, $B (-2; 0; -1)$ и $C (1; 1; 0)$. Найдите координаты точки $D$, принадлежащей плоскости $yz$, такой, что векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ коллинеарны.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения координат точки $D$ необходимо выполнить несколько последовательных шагов. Сначала найдем координаты вектора $\vec{AB}$. Затем, используя условие, что точка $D$ лежит в плоскости $yz$, определим ее общие координаты. После этого найдем координаты вектора $\vec{CD}$ и, используя условие коллинеарности векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, составим и решим систему уравнений для нахождения неизвестных координат точки $D$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала. При заданных точках $A(-4; 1; 2)$ и $B(-2; 0; -1)$ получаем:
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-2 - (-4); 0 - 1; -1 - 2) = (2; -1; -3)$.

2. Определим координаты точки $D$. По условию, точка $D$ принадлежит плоскости $yz$. Все точки этой плоскости имеют абсциссу (координату $x$), равную нулю. Следовательно, координаты точки $D$ можно записать в виде $(0; y; z)$, где $y$ и $z$ — неизвестные величины.

3. Найдем координаты вектора $\vec{CD}$, зная координаты точек $C(1; 1; 0)$ и $D(0; y; z)$:
$\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C) = (0 - 1; y - 1; z - 0) = (-1; y - 1; z)$.

4. Используем условие коллинеарности векторов. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Это означает, что существует такое число $k$ (коэффициент пропорциональности), что $\vec{CD} = k \cdot \vec{AB}$. Запишем это векторное равенство в виде системы уравнений для координат:
$\begin{cases}-1 = k \cdot 2 \\y - 1 = k \cdot (-1) \\z = k \cdot (-3)\end{cases}$

5. Решим полученную систему. Из первого уравнения находим значение $k$:
$k = -\frac{1}{2}$.
Теперь подставим найденное значение $k$ во второе и третье уравнения, чтобы найти $y$ и $z$:
$y - 1 = (-\frac{1}{2}) \cdot (-1) \implies y - 1 = \frac{1}{2} \implies y = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
$z = (-\frac{1}{2}) \cdot (-3) \implies z = \frac{3}{2}$.

Таким образом, искомая точка $D$ имеет координаты $(0; \frac{3}{2}; \frac{3}{2})$.

Ответ: $D(0; \frac{3}{2}; \frac{3}{2})$.