Номер 11, страница 160 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 11, страница 160.

Условие.

21.11. Даны точки A (1; 0; 1), B (2; 1; -1) и C (-1; 2; 0). Найдите координаты точки D такой, что $\vec{AB} + \vec{CD} = \vec{0}$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть искомая точка D имеет координаты $(x; y; z)$.

Для решения задачи необходимо найти координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, а затем использовать условие их суммы.

1. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$. Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.

Даны точки $A(1; 0; 1)$ и $B(2; 1; -1)$.

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (2 - 1; 1 - 0; -1 - 1) = (1; 1; -2)$.

2. Выразим координаты вектора $\vec{CD}$ через неизвестные координаты точки $D(x; y; z)$.

Дана точка $C(-1; 2; 0)$.

$\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C) = (x - (-1); y - 2; z - 0) = (x + 1; y - 2; z)$.

3. Используем условие задачи $\vec{AB} + \vec{CD} = \vec{0}$.

Сумма векторов равна вектору, координаты которого равны суммам соответствующих координат слагаемых векторов. Нулевой вектор $\vec{0}$ имеет координаты $(0; 0; 0)$.

$\vec{AB} + \vec{CD} = (1 + (x + 1); 1 + (y - 2); -2 + z) = (0; 0; 0)$.

Это равенство означает, что каждая координата результирующего вектора равна нулю. Получаем систему уравнений:

$1 + x + 1 = 0$

$1 + y - 2 = 0$

$-2 + z = 0$

4. Решим полученную систему уравнений.

Из первого уравнения:

$x + 2 = 0 \implies x = -2$

Из второго уравнения:

$y - 1 = 0 \implies y = 1$

Из третьего уравнения:

$z - 2 = 0 \implies z = 2$

Таким образом, координаты точки D равны $(-2; 1; 2)$.

Ответ: $D(-2; 1; 2)$.