Номер 14, страница 161 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 14, страница 161.

Условие.

21.14. Точка M – середина ребра $B_1C_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точка K – середина ребра CD. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи введем базисные векторы, соответствующие ребрам параллелепипеда, выходящим из вершины A: $ \vec{AB} $, $ \vec{AD} $ и $ \vec{AA_1} $. Наша цель — выразить вектор $ \vec{MK} $ через эти векторы.

Представим вектор $ \vec{MK} $ в виде суммы векторов, образующих ломаную линию, соединяющую точку M и точку K. Например, можно использовать путь через ребра параллелепипеда: $ \vec{MK} = \vec{MC_1} + \vec{C_1C} + \vec{CK} $.

Рассмотрим каждый вектор в этой сумме:

1. Точка M — середина ребра $ B_1C_1 $. Следовательно, вектор $ \vec{MC_1} $ равен половине вектора $ \vec{B_1C_1} $: $ \vec{MC_1} = \frac{1}{2} \vec{B_1C_1} $. В параллелепипеде $ \vec{B_1C_1} = \vec{AD} $, поэтому $ \vec{MC_1} = \frac{1}{2} \vec{AD} $.

2. Вектор $ \vec{C_1C} $ направлен противоположно вектору $ \vec{CC_1} $. В параллелепипеде $ \vec{CC_1} = \vec{AA_1} $, поэтому: $ \vec{C_1C} = -\vec{CC_1} = -\vec{AA_1} $.

3. Точка K — середина ребра CD. Следовательно, вектор $ \vec{CK} $ равен половине вектора $ \vec{CD} $: $ \vec{CK} = \frac{1}{2} \vec{CD} $. Вектор $ \vec{CD} $ направлен противоположно вектору $ \vec{DC} $, а $ \vec{DC} = \vec{AB} $. Таким образом: $ \vec{CK} = \frac{1}{2} \vec{CD} = \frac{1}{2} (-\vec{DC}) = -\frac{1}{2} \vec{AB} $.

Теперь сложим все три вектора, чтобы найти $ \vec{MK} $: $ \vec{MK} = \vec{MC_1} + \vec{C_1C} + \vec{CK} = \frac{1}{2} \vec{AD} - \vec{AA_1} - \frac{1}{2} \vec{AB} $.

Запишем результат в привычном порядке: $ \vec{MK} = -\frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AD} - \vec{AA_1} $.

Ответ: $ \vec{MK} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD} - \vec{AA_1} $.