Номер 15, страница 161 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 15, страница 161.

Условие.

21.15. Медианы грани BDC тетраэдра DABC пересекаются в точке O, точка M – середина ребра AD. Выразите вектор $\vec{MO}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Выберем точку $A$ в качестве начала координат. Тогда векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$ будут радиус-векторами точек $B$, $C$ и $D$ соответственно.

Вектор $\vec{MO}$ можно выразить через разность векторов $\vec{AO}$ и $\vec{AM}$:

$\vec{MO} = \vec{AO} - \vec{AM}$

Найдем каждый из этих векторов.

1. Нахождение вектора $\vec{AM}$

По условию, точка $M$ — середина ребра $AD$. Вектор, проведенный из вершины в середину противоположной стороны, равен полусумме векторов, проведенных к концам этого отрезка. Однако, так как $M$ - середина $AD$, вектор $\vec{AM}$ просто равен половине вектора $\vec{AD}$.

$\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AD}$

2. Нахождение вектора $\vec{AO}$

Точка $O$ — точка пересечения медиан грани $BDC$. Это означает, что $O$ является центроидом (центром масс) треугольника $BDC$. Радиус-вектор центроида треугольника равен одной трети от суммы радиус-векторов его вершин.

В нашей системе координат с началом в точке $A$ радиус-векторами вершин треугольника $BDC$ являются векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$.

Следовательно, вектор $\vec{AO}$ можно выразить как:

$\vec{AO} = \frac{1}{3}(\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD})$

3. Выражение вектора $\vec{MO}$

Теперь подставим найденные выражения для $\vec{AO}$ и $\vec{AM}$ в исходную формулу:

$\vec{MO} = \vec{AO} - \vec{AM} = \frac{1}{3}(\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}) - \frac{1}{2}\vec{AD}$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены:

$\vec{MO} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC} + \frac{1}{3}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AD}$

$\vec{MO} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC} + (\frac{1}{3} - \frac{1}{2})\vec{AD}$

$\vec{MO} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC} + (\frac{2}{6} - \frac{3}{6})\vec{AD}$

$\vec{MO} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC} - \frac{1}{6}\vec{AD}$

Ответ: $\vec{MO} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC} - \frac{1}{6}\vec{AD}$