Номер 17, страница 161 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 17, страница 161.

Условие.

21.17. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} (2; 2; 1)$ и $\vec{b} (6; -2; -3)$.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения косинуса угла между векторами $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ используется формула, основанная на скалярном произведении:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$

В нашем случае даны векторы $\vec{a}(2; 2; 1)$ и $\vec{b}(6; -2; -3)$.

1. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 6 + 2 \cdot (-2) + 1 \cdot (-3) = 12 - 4 - 3 = 5$

2. Найдем длины (модули) каждого вектора:

Длина вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

Длина вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$

3. Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos(\alpha) = \frac{5}{3 \cdot 7} = \frac{5}{21}$

Ответ: $\frac{5}{21}$