Номер 10, страница 160 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 10, страница 160.

Условие.

21.10. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите сумму векторов $\vec{B_1C_1} + \vec{AB} + \vec{DD_1} + \vec{CB_1} + \vec{BC} + \vec{A_1A}$.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения суммы векторов $\vec{B_1C_1} + \vec{AB} + \vec{DD_1} + \vec{CB_1} + \vec{BC} + \vec{A_1A}$ воспользуемся свойствами векторов в параллелепипеде и правилами их сложения.

1. Перегруппируем слагаемые в исходном выражении для удобства вычислений. Объединим векторы, которые можно сложить по правилу треугольника:

$S = (\vec{BC} + \vec{CB_1}) + \vec{B_1C_1} + \vec{AB} + \vec{DD_1} + \vec{A_1A}$

По правилу треугольника (или правилу Шаля) для векторов, конец одного из которых совпадает с началом другого, имеем:

$\vec{BC} + \vec{CB_1} = \vec{BB_1}$

Теперь выражение для суммы принимает вид:

$S = \vec{BB_1} + \vec{B_1C_1} + \vec{AB} + \vec{DD_1} + \vec{A_1A}$

2. Воспользуемся свойствами параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В параллелепипеде противоположные грани — равные параллелограммы, а боковые ребра параллельны и равны. Это означает равенство соответствующих векторов:

• $\vec{B_1C_1} = \vec{AD}$ (так как $B_1C_1$ и $AD$ — противоположные стороны равных граней)
• $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$ (так как $BB_1$ и $AA_1$ — параллельные ребра)
• $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$ (так как $DD_1$ и $AA_1$ — параллельные ребра)
• Вектор $\vec{A_1A}$ является противоположным вектору $\vec{AA_1}$, то есть $\vec{A_1A} = -\vec{AA_1}$.

3. Подставим эти векторные равенства в наше выражение для суммы $S$:

$S = \vec{AA_1} + \vec{AD} + \vec{AB} + \vec{AA_1} + (-\vec{AA_1})$

4. Упростим полученное выражение. Взаимно уничтожаются два противоположных вектора $\vec{AA_1}$ и $-\vec{AA_1}$:

$S = \vec{AA_1} + \vec{AD} + \vec{AB} + (\vec{AA_1} - \vec{AA_1})$

$S = \vec{AA_1} + \vec{AD} + \vec{AB} + \vec{0}$

Переставим слагаемые в соответствии с общепринятым порядком базисных векторов:

$S = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$

5. Полученная сумма представляет собой сумму трех некомпланарных векторов, отложенных от одной вершины $A$. По правилу сложения векторов в параллелепипеде (правило диагонали параллелепипеда), эта сумма равна вектору, проведенному из начала этих векторов (точка $A$) в противоположную вершину параллелепипеда (точка $C_1$).

Также можно применить правило параллелограмма дважды. Сначала для грани $ABCD$:

$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$

Тогда сумма примет вид:

$S = (\vec{AB} + \vec{AD}) + \vec{AA_1} = \vec{AC} + \vec{AA_1}$

Так как $\vec{AA_1} = \vec{CC_1}$, то:

$S = \vec{AC} + \vec{CC_1}$

И по правилу треугольника окончательно получаем:

$S = \vec{AC_1}$

Ответ: $\vec{AC_1}$.