Номер 8, страница 160 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 8, страница 160.

Условие.

21.8. Сторона основания правильной треугольной пирамиды $DABC$ равна $3\sqrt{3}$ см, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $60^{\circ}$. Найдите $\left|\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC}\right|$.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи сначала упростим векторное выражение, модуль которого необходимо найти: $|\vec{DA} + \vec{CB} + \vec{AC}|$.

Используя правило сложения векторов (правило треугольника), сгруппируем векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$. Их сумма равна вектору, соединяющему начало первого вектора (точка A) с концом второго (точка B): $\vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB}$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение: $|\vec{DA} + \vec{CB} + \vec{AC}| = |\vec{DA} + (\vec{AC} + \vec{CB})| = |\vec{DA} + \vec{AB}|$.

Снова применяя правило треугольника для суммы векторов $\vec{DA}$ и $\vec{AB}$, получаем: $\vec{DA} + \vec{AB} = \vec{DB}$.

Таким образом, задача сводится к нахождению модуля вектора $\vec{DB}$, что эквивалентно нахождению длины бокового ребра $DB$ пирамиды. $|\vec{DA} + \vec{CB} + \vec{AC}| = |\vec{DB}| = DB$.

По условию, пирамида $DABC$ является правильной. Это означает, что в ее основании лежит равносторонний треугольник $ABC$, а вершина $D$ проецируется в центр основания — точку $O$. Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой: $DA = DB = DC$. Следовательно, нам достаточно найти длину любого бокового ребра, например, $DA$.

Угол между боковым ребром $DA$ и плоскостью основания $ABC$ по определению является углом между ребром $DA$ и его проекцией на эту плоскость. Проекцией ребра $DA$ является отрезок $AO$. Таким образом, по условию, угол $\angle DAO = 60^\circ$.

Отрезок $DO$ является высотой пирамиды, поэтому он перпендикулярен плоскости основания, а значит, и отрезку $AO$. Следовательно, треугольник $\triangle DAO$ является прямоугольным с прямым углом $\angle DOA$.

Точка $O$ — центр равностороннего треугольника $ABC$, поэтому отрезок $AO$ является радиусом $R$ окружности, описанной около этого треугольника. Сторона основания $a$ дана и равна $3\sqrt{3}$ см. Радиус описанной окружности для равностороннего треугольника вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Найдем длину $AO$: $AO = R = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$ см.

Теперь, зная катет $AO$ и прилежащий к нему угол $\angle DAO$ в прямоугольном треугольнике $\triangle DAO$, мы можем найти гипотенузу $DA$: $\cos(\angle DAO) = \frac{AO}{DA}$. Отсюда, $DA = \frac{AO}{\cos(\angle DAO)} = \frac{3}{\cos(60^\circ)} = \frac{3}{1/2} = 6$ см.

Так как $DB = DA$, то искомая величина равна 6 см.

Ответ: 6 см.