Номер 2, страница 160 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 2, страница 160.

Условие.

21.2. Даны точки $A (8; 0; 4)$, $B (13; 4; 7)$, $C (11; -3; 3)$.

1) Докажите, что треугольник $ABC$ – прямоугольный.

2) Найдите площадь круга, описанного около треугольника $ABC$.

Решение 1.

Решение 3.

1) Докажите, что треугольник ABC — прямоугольный.

Для доказательства того, что треугольник ABC является прямоугольным, найдем векторы, соответствующие его сторонам, и проверим их на перпендикулярность с помощью скалярного произведения. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.
Даны координаты точек: A(8; 0; 4), B(13; 4; 7), C(11; -3; 3).
Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, выходящих из вершины A:
$\vec{AB} = (13 - 8; 4 - 0; 7 - 4) = (5; 4; 3)$.
$\vec{AC} = (11 - 8; -3 - 0; 3 - 4) = (3; -3; -1)$.
Вычислим скалярное произведение этих векторов:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 5 \cdot 3 + 4 \cdot (-3) + 3 \cdot (-1) = 15 - 12 - 3 = 0$.
Так как скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ равно нулю, то угол между ними ($\angle BAC$) составляет 90°. Следовательно, треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине A.
Ответ: Доказано, что треугольник ABC — прямоугольный.

2) Найдите площадь круга, описанного около треугольника ABC.

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$, где R — радиус описанной окружности.
Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине длины гипотенузы.
Из пункта 1 мы установили, что треугольник ABC — прямоугольный, а его гипотенуза — сторона BC (так как она лежит напротив прямого угла A).
Найдем длину гипотенузы BC. Квадрат ее длины равен:
$BC^2 = (11 - 13)^2 + (-3 - 4)^2 + (3 - 7)^2 = (-2)^2 + (-7)^2 + (-4)^2 = 4 + 49 + 16 = 69$.
Длина гипотенузы $BC = \sqrt{69}$.
Радиус описанной окружности R равен половине гипотенузы:
$R = \frac{BC}{2} = \frac{\sqrt{69}}{2}$.
Теперь найдем площадь круга:
$S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{69}}{2}\right)^2 = \pi \frac{69}{4}$.
Ответ: $\frac{69\pi}{4}$.