Номер 25, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 20. Площадь сферы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 25, страница 154.

Условие.

20.25. Модуль вектора $\vec{a}$ $(2; m + 1; m + 5)$ равен $2\sqrt{3}$. Коллинеарен ли вектор $\vec{a}$ вектору $\vec{b}$ $(-1; m + 4; m + 2)$?

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи сначала необходимо найти значение параметра m. Мы знаем, что модуль (длина) вектора $\vec{a}(a_x; a_y; a_z)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$.

Вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(2; m+1; m+5)$, а его модуль равен $2\sqrt{3}$. Составим уравнение:

$\sqrt{2^2 + (m+1)^2 + (m+5)^2} = 2\sqrt{3}$

Чтобы решить это уравнение, возведем обе его части в квадрат:

$2^2 + (m+1)^2 + (m+5)^2 = (2\sqrt{3})^2$

$4 + (m^2 + 2m + 1) + (m^2 + 10m + 25) = 4 \cdot 3$

$4 + m^2 + 2m + 1 + m^2 + 10m + 25 = 12$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$2m^2 + 12m + 30 = 12$

Перенесем 12 в левую часть:

$2m^2 + 12m + 18 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$m^2 + 6m + 9 = 0$

Заметим, что левая часть является полным квадратом:

$(m+3)^2 = 0$

Отсюда следует, что $m+3=0$, то есть $m = -3$.

Теперь, когда мы нашли значение m, можем определить точные координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Подставим $m = -3$ в координаты вектора $\vec{a}$:

$\vec{a} = (2; -3+1; -3+5) = (2; -2; 2)$

Подставим $m = -3$ в координаты вектора $\vec{b}$:

$\vec{b} = (-1; -3+4; -3+2) = (-1; 1; -1)$

Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Это означает, что существует такое число k (коэффициент пропорциональности), что $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$. Проверим, выполняется ли это условие, найдя отношения соответствующих координат:

$\frac{a_x}{b_x} = \frac{2}{-1} = -2$

$\frac{a_y}{b_y} = \frac{-2}{1} = -2$

$\frac{a_z}{b_z} = \frac{2}{-1} = -2$

Поскольку все три отношения равны одному и тому же числу (-2), координаты векторов пропорциональны. Следовательно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Ответ: да, векторы коллинеарны.