Номер 3, страница 160 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 3, страница 160.

Условие.

21.3. Найдите площадь равнобедренного треугольника ABC с основанием AC, если известно, что $A (1; 1; -2)$, $C (-3; 3; 2)$, а точка $B$ принадлежит оси аппликат.

Решение 1.

Решение 3.

По условию задачи дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Координаты вершин: $A(1; 1; -2)$ и $C(-3; 3; 2)$. Вершина $B$ принадлежит оси аппликат ($Oz$), следовательно, ее координаты имеют вид $B(0; 0; z)$.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то боковые стороны $AB$ и $BC$ равны: $AB = BC$. Это также означает, что квадраты их длин равны: $AB^2 = BC^2$.

Найдем квадраты длин сторон $AB$ и $BC$, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

$AB^2 = (0 - 1)^2 + (0 - 1)^2 + (z - (-2))^2 = (-1)^2 + (-1)^2 + (z + 2)^2 = 1 + 1 + z^2 + 4z + 4 = z^2 + 4z + 6$.

$BC^2 = (0 - (-3))^2 + (0 - 3)^2 + (z - 2)^2 = 3^2 + (-3)^2 + (z - 2)^2 = 9 + 9 + z^2 - 4z + 4 = z^2 - 4z + 22$.

Приравняем выражения для $AB^2$ и $BC^2$:

$z^2 + 4z + 6 = z^2 - 4z + 22$

$4z + 6 = -4z + 22$

$8z = 16$

$z = 2$

Таким образом, координаты вершины $B$ равны $(0; 0; 2)$.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ – длина основания, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию. В нашем случае основанием является сторона $AC$, а высотой — медиана $BM$, проведенная к основанию, где $M$ – середина отрезка $AC$.

1. Найдем длину основания $AC$:

$AC = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (3 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$.

2. Найдем координаты середины $M$ отрезка $AC$:

$M\left(\frac{1 + (-3)}{2}; \frac{1 + 3}{2}; \frac{-2 + 2}{2}\right) = M\left(\frac{-2}{2}; \frac{4}{2}; \frac{0}{2}\right) = M(-1; 2; 0)$.

3. Найдем длину высоты $BM$:

$BM = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (2 - 0)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

4. Вычислим площадь треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9$.

Ответ: 9.