Номер 24, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 20. Площадь сферы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 24, страница 154.

Условие.

20.24. Отрезок $BM$ – медиана треугольника $ABC$. Известно, что $BM = m$, $\angle ABM = \alpha$, $\angle MBC = \beta$. Найдите сторону $AB$.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи используем метод дополнительного построения. Продолжим медиану $BM$ за точку $M$ на ее длину до точки $D$ так, что $BM = MD$. Соединим точку $D$ с точкой $A$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. По условию, $BM$ – медиана, следовательно, $AM = MC$. По построению, $BM = MD$. Так как диагонали четырехугольника $ABCD$ в точке пересечения делятся пополам, то $ABCD$ – параллелограмм. В этом параллелограмме диагональ $BD = BM + MD = m + m = 2m$.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны $AD$ и $BC$ параллельны. Прямая $BD$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, внутренние накрест лежащие углы $\angle ADB$ и $\angle CBM$ равны. По условию $\angle CBM = \beta$, значит, $\angle ADB = \beta$.

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Поэтому $\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ$. Угол $\angle ABC$ является суммой углов $\angle ABM$ и $\angle MBC$: $\angle ABC = \alpha + \beta$. Отсюда следует, что $\angle DAB = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Применим к нему теорему синусов, согласно которой отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон этого треугольника. Для сторон $AB$ и $BD$ имеем: $$ \frac{AB}{\sin(\angle ADB)} = \frac{BD}{\sin(\angle DAB)} $$

Подставим известные нам значения сторон и углов: $$ \frac{AB}{\sin \beta} = \frac{2m}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))} $$

Используя тригонометрическое тождество (формулу приведения) $\sin(180^\circ - x) = \sin x$, упростим знаменатель в правой части уравнения: $$ \frac{AB}{\sin \beta} = \frac{2m}{\sin(\alpha + \beta)} $$

Наконец, выразим из этого равенства искомую сторону $AB$: $$ AB = \frac{2m \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)} $$

Ответ: $ \frac{2m \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)} $