Номер 6, страница 160 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 6, страница 160.

Условие.

21.6. От точки C $(2; -3; 1)$ отложили вектор $\vec{CD}$, равный вектору $\vec{AB}$. Найдите координаты точки D, если A $(-1; 0; 5)$, B $(0; 4; -1)$.

Решение 1.

Решение 3.

По условию задачи, вектор $\vec{CD}$ равен вектору $\vec{AB}$. Равные векторы имеют равные соответствующие координаты.

1. Сначала найдем координаты вектора $\vec{AB}$, используя координаты точек $A(-1; 0; 5)$ и $B(0; 4; -1)$. Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала.

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (0 - (-1); 4 - 0; -1 - 5) = (1; 4; -6)$.

2. Пусть искомая точка $D$ имеет координаты $(x; y; z)$. Тогда координаты вектора $\vec{CD}$ с началом в точке $C(2; -3; 1)$ и концом в точке $D(x; y; z)$ будут:

$\vec{CD} = (x - x_C; y - y_C; z - z_C) = (x - 2; y - (-3); z - 1) = (x - 2; y + 3; z - 1)$.

3. Так как $\vec{CD} = \vec{AB}$, мы можем приравнять их координаты:

$(x - 2; y + 3; z - 1) = (1; 4; -6)$.

Это равенство дает нам систему из трех уравнений:

$x - 2 = 1$
$y + 3 = 4$
$z - 1 = -6$

4. Решим каждое уравнение для нахождения координат точки $D$:

$x = 1 + 2 \Rightarrow x = 3$
$y = 4 - 3 \Rightarrow y = 1$
$z = -6 + 1 \Rightarrow z = -5$

Следовательно, координаты точки $D$ равны $(3; 1; -5)$.

Ответ: $D(3; 1; -5)$.