Номер 7, страница 160 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 7, страница 160.

Условие.

21.7. Существует ли параллельный перенос, при котором образом точки $A$ является точка $B$, а образом точки $C$ — точка $D$, если:

1) $A (-2; 3; 5)$, $B (1; 2; 4)$, $C (4; -3; 6)$, $D (7; -2; 5)$;

2) $A (0; 1; 2)$, $B (-1; 0; 1)$, $C (3; -2; 2)$, $D (2; -3; 1)?$

Решение 1.

Решение 3.

Параллельный перенос — это преобразование, при котором все точки пространства смещаются на один и тот же вектор. Чтобы существовал параллельный перенос, переводящий точку $A$ в точку $B$ и одновременно точку $C$ в точку $D$, необходимо и достаточно, чтобы векторы, задающие эти перемещения, были равны, то есть $\vec{AB} = \vec{CD}$.

Для проверки этого условия найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ в каждом из случаев. Координаты вектора, соединяющего точки $M_1(x_1; y_1; z_1)$ и $M_2(x_2; y_2; z_2)$, вычисляются по формуле $\vec{M_1M_2} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$.

1)

Даны точки $A(-2; 3; 5)$, $B(1; 2; 4)$, $C(4; -3; 6)$, $D(7; -2; 5)$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (1 - (-2); 2 - 3; 4 - 5) = (3; -1; -1)$.

Найдем координаты вектора $\vec{CD}$:

$\vec{CD} = (7 - 4; -2 - (-3); 5 - 6) = (3; 1; -1)$.

Сравним полученные векторы: $\vec{AB} = (3; -1; -1)$ и $\vec{CD} = (3; 1; -1)$.

Так как вторые координаты векторов не совпадают ($-1 \neq 1$), векторы не равны: $\vec{AB} \neq \vec{CD}$.

Следовательно, параллельного переноса, удовлетворяющего условию, не существует.

Ответ: не существует.

2)

Даны точки $A(0; 1; 2)$, $B(-1; 0; 1)$, $C(3; -2; 2)$, $D(2; -3; 1)$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (-1 - 0; 0 - 1; 1 - 2) = (-1; -1; -1)$.

Найдем координаты вектора $\vec{CD}$:

$\vec{CD} = (2 - 3; -3 - (-2); 1 - 2) = (-1; -1; -1)$.

Сравним полученные векторы: $\vec{AB} = (-1; -1; -1)$ и $\vec{CD} = (-1; -1; -1)$.

Все соответствующие координаты векторов равны, следовательно, векторы равны: $\vec{AB} = \vec{CD}$.

Это означает, что существует параллельный перенос на вектор $\vec{a} = (-1; -1; -1)$, который переводит точку $A$ в точку $B$ и точку $C$ в точку $D$.

Ответ: существует.