Номер 9, страница 160 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 9, страница 160.

Условие.

21.9. Диагонали параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ пересекаются в точке $O$. Найдите сумму векторов $\vec{AB} + \vec{CO} + \vec{B_1O}$.

Решение 1.

Решение 3.

По условию задачи, $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, а точка $O$ — точка пересечения его диагоналей. Требуется найти сумму векторов $\vec{AB} + \vec{CO} + \vec{B_1O}$.

Точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии и делит каждую диагональ пополам. Воспользуемся этим свойством, а также свойствами векторов в параллелепипеде, чтобы упростить выражение.

1. В параллелепипеде противолежащие ребра параллельны и равны. Следовательно, векторы, определяющие эти ребра, равны. В частности, вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{A_1B_1}$:

$\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$

2. Точка $O$ является серединой диагонали $A_1C$. Это означает, что она делит отрезок $A_1C$ на два равных отрезка $A_1O$ и $OC$. Вектор, идущий из точки $C$ в середину $O$, равен вектору, идущему из середины $O$ в точку $A_1$. Таким образом:

$\vec{CO} = \vec{OA_1}$

Теперь подставим полученные равенства в исходную сумму векторов:

$\vec{AB} + \vec{CO} + \vec{B_1O} = \vec{A_1B_1} + \vec{OA_1} + \vec{B_1O}$

Перегруппируем слагаемые, чтобы применить правило сложения векторов (правило многоугольника):

$\vec{OA_1} + \vec{A_1B_1} + \vec{B_1O}$

Сумма первых двух векторов $\vec{OA_1} + \vec{A_1B_1}$ по правилу треугольника равна вектору, соединяющему начало первого вектора (точка $O$) и конец второго (точка $B_1$):

$\vec{OA_1} + \vec{A_1B_1} = \vec{OB_1}$

Подставим это обратно в наше выражение:

$(\vec{OA_1} + \vec{A_1B_1}) + \vec{B_1O} = \vec{OB_1} + \vec{B_1O}$

Векторы $\vec{OB_1}$ и $\vec{B_1O}$ являются противоположными, так как они имеют одинаковую длину и противоположные направления ($\vec{B_1O} = -\vec{OB_1}$). Сумма противоположных векторов равна нулевому вектору ($\vec{0}$):

$\vec{OB_1} + \vec{B_1O} = \vec{0}$

Следовательно, искомая сумма векторов равна нулевому вектору.

Ответ: $\vec{0}$.