Номер 4, страница 160 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 4, страница 160.

Условие.

21.4. Даны точки $A (-2; 1; 3)$, $B (0; 5; 9)$ и $C (-3; y; 6)$. При каких значениях $y$ отрезок $AB$ в 2 раза больше отрезка $AC$?

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи найдем длины отрезков AB и AC, используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве с координатами $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

Сначала вычислим длину отрезка AB, используя координаты точек A(-2; 1; 3) и B(0; 5; 9):

$|AB| = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (5 - 1)^2 + (9 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 16 + 36} = \sqrt{56}$.

Затем выразим длину отрезка AC через переменную $y$, используя координаты точек A(-2; 1; 3) и C(-3; y; 6):

$|AC| = \sqrt{(-3 - (-2))^2 + (y - 1)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (y - 1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + (y - 1)^2 + 9} = \sqrt{10 + (y - 1)^2}$.

Согласно условию задачи, отрезок AB в 2 раза больше отрезка AC. Это можно записать в виде уравнения:

$|AB| = 2 \cdot |AC|$

Подставим в уравнение полученные выражения для длин отрезков:

$\sqrt{56} = 2 \sqrt{10 + (y - 1)^2}$

Для решения этого иррационального уравнения возведем обе его части в квадрат:

$(\sqrt{56})^2 = (2 \sqrt{10 + (y - 1)^2})^2$

$56 = 4 \cdot (10 + (y - 1)^2)$

Разделим обе части уравнения на 4:

$14 = 10 + (y - 1)^2$

Вычтем 10 из обеих частей:

$(y - 1)^2 = 4$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Это приведет к двум возможным случаям:

1) $y - 1 = 2$

$y = 2 + 1$

$y = 3$

2) $y - 1 = -2$

$y = -2 + 1$

$y = -1$

Таким образом, условие задачи выполняется при двух значениях $y$: -1 и 3.

Ответ: -1; 3.