Номер 23, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 20. Площадь сферы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 23, страница 154.

Условие.

20.23. В окружность вписан четырёхугольник $ABCD$. Угол $A$ в 3 раза больше угла $C$, а угол $B$ в 5 раз меньше угла $A$. Найдите угол $D$.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Следовательно, справедливы следующие равенства:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$
$\angle B + \angle D = 180^\circ$

Из условия задачи известно, что угол $A$ в 3 раза больше угла $C$, то есть $\angle A = 3 \cdot \angle C$. Подставим это соотношение в первое равенство:
$3 \cdot \angle C + \angle C = 180^\circ$
$4 \cdot \angle C = 180^\circ$
$\angle C = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$

Зная угол $C$, мы можем найти угол $A$:
$\angle A = 3 \cdot \angle C = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$

Далее, по условию, угол $B$ в 5 раз меньше угла $A$, что можно записать как $\angle B = \frac{\angle A}{5}$. Подставим найденное значение угла $A$:
$\angle B = \frac{135^\circ}{5} = 27^\circ$

Наконец, чтобы найти искомый угол $D$, используем второе равенство для суммы противолежащих углов:
$\angle B + \angle D = 180^\circ$
$27^\circ + \angle D = 180^\circ$
$\angle D = 180^\circ - 27^\circ = 153^\circ$

Ответ: $153^\circ$