Номер 16, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 20. Площадь сферы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 16, страница 153.

Условие.

20.16. Найдите площадь сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 2 см, 3 см и 6 см.

Решение 1.

Решение 3.

Диаметр сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, равен его пространственной диагонали. Пусть измерения параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны $a$, $b$ и $c$. Из условия задачи имеем: $a = 2$ см, $b = 3$ см, $c = 6$ см.

1. Найдем квадрат пространственной диагонали ($d$) прямоугольного параллелепипеда по формуле, которая является обобщением теоремы Пифагора для трех измерений:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим числовые значения измерений:

$d^2 = 2^2 + 3^2 + 6^2 = 4 + 9 + 36 = 49$ см$^2$

Отсюда длина диагонали $d$ равна:

$d = \sqrt{49} = 7$ см

2. Диаметр описанной сферы $D$ равен найденной диагонали параллелепипеда: $D = d = 7$ см. Радиус сферы $R$ равен половине ее диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{7}{2}$ см

3. Теперь вычислим площадь поверхности сферы $S$ по формуле:

$S = 4\pi R^2$

Подставим значение радиуса:

$S = 4\pi \left(\frac{7}{2}\right)^2 = 4\pi \cdot \frac{49}{4} = 49\pi$ см$^2$

Ответ: $49\pi$ см$^2$.