Номер 15, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 20. Площадь сферы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 15, страница 153.

Условие.

20.15. Найдите отношение площади сферы, вписанной в куб, к площади сферы, описанной около данного куба.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи необходимо найти площади двух сфер — вписанной в куб и описанной около него, а затем найти их отношение. Пусть длина ребра куба равна $a$.

1. Сфера, вписанная в куб

Сфера, вписанная в куб, касается центров каждой из шести граней куба. Это означает, что диаметр вписанной сферы равен длине ребра куба.
Пусть $r$ — радиус вписанной сферы. Тогда ее диаметр $2r$ равен $a$.
$2r = a \implies r = \frac{a}{2}$
Площадь поверхности сферы ($S_{вп}$) вычисляется по формуле $S = 4\pi r^2$.
$S_{вп} = 4\pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 4\pi \frac{a^2}{4} = \pi a^2$.

2. Сфера, описанная около куба

Сфера, описанная около куба, проходит через все восемь вершин куба. Это означает, что диаметр описанной сферы равен главной диагонали куба.
Пусть $R$ — радиус описанной сферы. Тогда ее диаметр $2R$ равен диагонали куба $d$.
Диагональ куба находится по теореме Пифагора в пространстве: $d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.
$2R = a\sqrt{3} \implies R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
Площадь поверхности описанной сферы ($S_{оп}$) вычисляется по той же формуле $S = 4\pi R^2$.
$S_{оп} = 4\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 4\pi \frac{a^2 \cdot 3}{4} = 3\pi a^2$.

3. Отношение площадей

Теперь найдем отношение площади вписанной сферы к площади описанной сферы:
$\frac{S_{вп}}{S_{оп}} = \frac{\pi a^2}{3\pi a^2} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.