Номер 8, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 20. Площадь сферы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 8, страница 153.

Условие.

20.8. Плоскость, удалённая от центра сферы на 7 см, пересекает сферу по линии, длина которой равна $6\pi$ см. Найдите площадь сферы.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $R$ — это радиус сферы, а $d$ — расстояние от центра сферы до секущей плоскости. По условию, $d = 7$ см.

Сечением сферы плоскостью является окружность. Длина этой окружности $C$ дана и равна $6\pi$ см. Формула длины окружности: $C = 2\pi r$, где $r$ — радиус этой окружности.

Найдем радиус $r$ окружности в сечении:
$2\pi r = 6\pi$
$r = \frac{6\pi}{2\pi} = 3$ см.

Радиус сферы $R$, расстояние от центра до плоскости $d$ и радиус сечения $r$ связаны соотношением по теореме Пифагора, так как они образуют прямоугольный треугольник, где $R$ — гипотенуза, а $d$ и $r$ — катеты.
$R^2 = d^2 + r^2$

Подставим известные значения $d = 7$ см и $r = 3$ см:
$R^2 = 7^2 + 3^2 = 49 + 9 = 58$

Площадь поверхности сферы $S$ вычисляется по формуле: $S = 4\pi R^2$.

Подставим найденное значение $R^2$ в формулу площади:
$S = 4\pi \cdot 58 = 232\pi$ см².

Ответ: $232\pi$ см².