Номер 6, страница 152 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 20. Площадь сферы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 6, страница 152.

Условие.

20.6. Объёмы двух шаров относятся как $27 : 125$. Как относятся площади их поверхностей?

Решение 1.

Решение 3.

Пусть радиусы двух шаров равны $R_1$ и $R_2$, их объёмы — $V_1$ и $V_2$, а площади их поверхностей — $S_1$ и $S_2$.По условию, отношение объёмов составляет:$\frac{V_1}{V_2} = \frac{27}{125}$

Формула объёма шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Отношение объёмов двух шаров можно выразить через отношение их радиусов:$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_2^3} = \frac{R_1^3}{R_2^3} = (\frac{R_1}{R_2})^3$

Приравнивая два выражения для отношения объёмов, найдём отношение радиусов:$(\frac{R_1}{R_2})^3 = \frac{27}{125}$
$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt[3]{\frac{27}{125}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{3}{5}$

Теперь найдём искомое отношение площадей поверхностей. Формула площади поверхности шара: $S = 4\pi R^2$. Отношение площадей поверхностей двух шаров равно квадрату отношения их радиусов:$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi R_1^2}{4\pi R_2^2} = \frac{R_1^2}{R_2^2} = (\frac{R_1}{R_2})^2$

Подставим найденное отношение радиусов в эту формулу:$\frac{S_1}{S_2} = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$

Таким образом, площади поверхностей относятся как 9 : 25.
Ответ: 9 : 25.