Номер 5, страница 152 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 20. Площадь сферы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 5, страница 152.

Условие.

20.5. Как надо изменить радиус шара, чтобы площадь его поверхности уменьшилась в 3 раза?

Решение 1.

Решение 3.

20.5.

Площадь поверхности шара $S$ вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$, где $R$ – радиус шара. Из этой формулы видно, что площадь поверхности пропорциональна квадрату радиуса ($S \sim R^2$).

Пусть $R_1$ и $S_1$ – первоначальные радиус и площадь поверхности шара, а $R_2$ и $S_2$ – новые. Тогда их связь выражается уравнениями:

$S_1 = 4\pi R_1^2$

$S_2 = 4\pi R_2^2$

По условию задачи, новая площадь поверхности должна быть в 3 раза меньше первоначальной, то есть:

$\frac{S_1}{S_2} = 3$

Подставим в это соотношение формулы для площадей:

$\frac{4\pi R_1^2}{4\pi R_2^2} = 3$

Сократим общий множитель $4\pi$:

$\frac{R_1^2}{R_2^2} = 3$

Это уравнение можно переписать как:

$(\frac{R_1}{R_2})^2 = 3$

Чтобы найти отношение радиусов, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{3}$

Отсюда следует, что $R_2 = \frac{R_1}{\sqrt{3}}$. Это означает, что новый радиус должен быть в $\sqrt{3}$ раз меньше первоначального.

Ответ: радиус шара необходимо уменьшить в $\sqrt{3}$ раз.