Номер 67, страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 67, страница 151.

Условие.

19.67. Медианы грани $ABC$ тетраэдра $DABC$ пересекаются в точке $O$. На ребре $CD$ отмечена точка $M$ так, что $CM : MD = 3 : 1$. Выразите вектор $\vec{OM}$ через векторы $\vec{AC}$, $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи выберем точку A в качестве начала отсчета. Векторы, выходящие из этой точки к другим вершинам, будем считать базисными: $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$.

Вектор $\vec{OM}$ можно выразить через другие векторы, исходящие из точки A, по правилу разности векторов:$\vec{OM} = \vec{AM} - \vec{AO}$

Найдем выражения для векторов $\vec{AO}$ и $\vec{AM}$ через базисные векторы.

1. Нахождение вектора $\vec{AO}$
Точка O — точка пересечения медиан треугольника ABC, то есть его центроид. Радиус-вектор центроида равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин. Относительно точки A радиус-векторы вершин треугольника ABC равны $\vec{AA} = \vec{0}$, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.Следовательно, радиус-вектор точки O:$\vec{AO} = \frac{\vec{AA} + \vec{AB} + \vec{AC}}{3} = \frac{\vec{0} + \vec{AB} + \vec{AC}}{3} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$

2. Нахождение вектора $\vec{AM}$
Точка M лежит на ребре CD и делит его в отношении $CM : MD = 3 : 1$. Радиус-вектор точки, делящей отрезок, можно найти по формуле деления отрезка в заданном отношении. Для отрезка CD и точки M формула выглядит так (относительно начала отсчета A):$\vec{AM} = \frac{1 \cdot \vec{AC} + 3 \cdot \vec{AD}}{1 + 3} = \frac{1}{4}\vec{AC} + \frac{3}{4}\vec{AD}$

3. Вычисление вектора $\vec{OM}$
Подставим найденные выражения для $\vec{AO}$ и $\vec{AM}$ в исходную формулу для $\vec{OM}$:$\vec{OM} = \vec{AM} - \vec{AO} = \left(\frac{1}{4}\vec{AC} + \frac{3}{4}\vec{AD}\right) - \left(\frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}\right)$

Раскроем скобки и сгруппируем векторы:$\vec{OM} = \frac{1}{4}\vec{AC} + \frac{3}{4}\vec{AD} - \frac{1}{3}\vec{AB} - \frac{1}{3}\vec{AC}$$\vec{OM} = -\frac{1}{3}\vec{AB} + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{3}\right)\vec{AC} + \frac{3}{4}\vec{AD}$

Найдем коэффициент при $\vec{AC}$:$\frac{1}{4} - \frac{1}{3} = \frac{3}{12} - \frac{4}{12} = -\frac{1}{12}$

Таким образом, получаем окончательное выражение для вектора $\vec{OM}$:$\vec{OM} = -\frac{1}{3}\vec{AB} - \frac{1}{12}\vec{AC} + \frac{3}{4}\vec{AD}$

Ответ: $\vec{OM} = \frac{3}{4}\vec{AD} - \frac{1}{3}\vec{AB} - \frac{1}{12}\vec{AC}$