Номер 60, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 60, страница 150.

Условие.

19.60. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см, а двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны 60°. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения объёма конуса, вписанного в пирамиду, воспользуемся формулой:$V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi R^2 H$,где $R$ – радиус основания конуса, а $H$ – его высота.

Поскольку конус вписан в пирамиду, его основание (круг) вписано в основание пирамиды (прямоугольный треугольник), а его вершина совпадает с вершиной пирамиды. Таким образом, радиус основания конуса $R$ равен радиусу $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, а высота конуса $H$ равна высоте пирамиды.

1. Найдем радиус основания конуса $R$.

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ см и $b = 8$ см. Найдем его гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле:$r = \frac{a + b - c}{2}$.Подставим известные значения:$R = r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

2. Найдем высоту конуса $H$.

Так как все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны $60^\circ$, вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Высота пирамиды $H$, радиус вписанной окружности $r$ и апофема боковой грани образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике угол между апофемой и радиусом равен $60^\circ$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике имеем:$\tan(60^\circ) = \frac{H}{r}$.Отсюда находим высоту $H$:$H = r \cdot \tan(60^\circ) = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

3. Вычислим объём конуса.

Теперь, зная радиус $R = 2$ см и высоту $H = 2\sqrt{3}$ см, мы можем вычислить объём конуса:$V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot (2)^2 \cdot (2\sqrt{3}) = \frac{1}{3}\pi \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = \frac{8\pi\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{8\pi\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.