Номер 63, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 63, страница 150.

Условие.

19.63. Найдите объём шара, вписанного в правильный тетраэдр, ребро которого равно $a$.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения объема шара, вписанного в правильный тетраэдр, необходимо сначала найти радиус этого шара ($r$). Объем шара вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$. Радиус вписанного шара можно найти, зная объем ($V_{тетр}$) и площадь полной поверхности ($S_{полн}$) тетраэдра, используя соотношение $V_{тетр} = \frac{1}{3}S_{полн} \cdot r$.

1. Нахождение площади поверхности и объема правильного тетраэдра

Правильный тетраэдр — это многогранник, все четыре грани которого являются равносторонними треугольниками. Пусть длина ребра тетраэдра равна $a$.

Площадь одной грани (равностороннего треугольника со стороной $a$) равна:$S_{грани} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Площадь полной поверхности тетраэдра, состоящего из четырех таких граней, будет:$S_{полн} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}$

Для вычисления объема тетраэдра ($V_{тетр} = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$) найдем его высоту $H$. Высота правильного тетраэдра опускается из вершины в центр основания. Центр равностороннего треугольника делит его медианы (они же высоты и биссектрисы) в отношении 2:1, считая от вершины. Расстояние от вершины основания до его центра (радиус описанной окружности) равно $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Высоту $H$ тетраэдра найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного ребром тетраэдра $a$ (гипотенуза), высотой $H$ и радиусом $R$ (катеты):$H^2 = a^2 - R^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = a^2 - \frac{3a^2}{9} = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$$H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Теперь можем найти объем тетраэдра:$V_{тетр} = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^3\sqrt{18}}{36} = \frac{a^3 \cdot 3\sqrt{2}}{36} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

2. Нахождение радиуса вписанного шара

Теперь, зная объем и площадь поверхности тетраэдра, найдем радиус вписанного шара:$r = \frac{3V_{тетр}}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot \frac{a^3\sqrt{2}}{12}}{a^2\sqrt{3}} = \frac{\frac{a^3\sqrt{2}}{4}}{a^2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{4\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{12}$

3. Нахождение объема вписанного шара

Подставим найденное значение радиуса $r$ в формулу объема шара:$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a\sqrt{6}}{12}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3 \cdot (\sqrt{6})^3}{12^3}$$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3 \cdot 6\sqrt{6}}{1728} = \frac{24\pi a^3\sqrt{6}}{3 \cdot 1728} = \frac{8\pi a^3\sqrt{6}}{1728}$

Сократив дробь на 8 (поскольку $1728 = 8 \cdot 216$), получим окончательный результат:$V_{шара} = \frac{\pi a^3\sqrt{6}}{216}$

Ответ: $\frac{\pi a^3\sqrt{6}}{216}$