Номер 61, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 61, страница 150.

Условие.

19.61. Образующая усечённого конуса равна $a$, а угол между нею и плоскостью большего основания равен $\alpha$. Найдите объём усечённого конуса, если диагонали его осевого сечения перпендикулярны.

Решение 1.

Решение 3.

Обозначим радиусы большего и меньшего оснований усечённого конуса как $R$ и $r$ соответственно, высоту как $H$, а образующую как $l$. По условию, $l=a$.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобокая трапеция. Пусть её вершины $A, B, C, D$, где $AD$ и $BC$ — основания (диаметры оснований конуса), а $AB$ и $CD$ — боковые стороны (образующие). Тогда $AD = 2R$, $BC = 2r$, $CD = a$. Угол между образующей и плоскостью большего основания — это угол при большем основании трапеции, то есть $\angle CDA = \alpha$.

Проведём высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$. Образуется прямоугольный треугольник $CKD$. В нём:

• Высота конуса $H = CK = CD \cdot \sin(\angle CDA) = a \sin \alpha$.
• Отрезок $KD = CD \cdot \cos(\angle CDA) = a \cos \alpha$.

Геометрически, отрезок $KD$ равен полуразности оснований трапеции: $KD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{2R - 2r}{2} = R - r$. Таким образом, мы получили два соотношения:
$H = a \sin \alpha$
$R - r = a \cos \alpha$

По второму условию, диагонали осевого сечения (трапеции $ABCD$) перпендикулярны. Для равнобокой трапеции, у которой диагонали перпендикулярны, высота равна полусумме оснований:
$H = \frac{AD + BC}{2} = \frac{2R + 2r}{2} = R + r$.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений для нахождения суммы и разности радиусов:
$R + r = H = a \sin \alpha$
$R - r = a \cos \alpha$

Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + Rr + r^2)$
Для нахождения выражения $R^2 + Rr + r^2$ воспользуемся известным тождеством:
$R^2 + Rr + r^2 = \frac{1}{4} [3(R+r)^2 + (R-r)^2]$
Подставим в него наши выражения для $R+r$ и $R-r$:
$R^2 + Rr + r^2 = \frac{1}{4} [3(a \sin \alpha)^2 + (a \cos \alpha)^2] = \frac{1}{4} [3a^2 \sin^2 \alpha + a^2 \cos^2 \alpha] = \frac{a^2}{4}(3\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$.
Упростим полученное выражение:
$\frac{a^2}{4}(3\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = \frac{a^2}{4}(2\sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = \frac{a^2}{4}(2\sin^2 \alpha + 1)$.

Теперь соберём всё в формулу для объёма, подставив выражения для $H$ и $R^2 + Rr + r^2$:
$V = \frac{1}{3} \pi (a \sin \alpha) \left( \frac{a^2}{4}(1 + 2\sin^2 \alpha) \right)$
$V = \frac{\pi a^3}{12} \sin \alpha (1 + 2\sin^2 \alpha)$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3}{12} \sin \alpha (1 + 2\sin^2 \alpha)$.