Номер 64, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 64, страница 150.

Условие.

19.64. Боковое ребро правильной пирамиды равно $a$ и образует с её основанием угол $\alpha$. Найдите объём шара, описанного около данной пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения объема шара, описанного около правильной пирамиды, необходимо сначала найти радиус этого шара $R$. Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Пусть боковое ребро пирамиды равно $a$, а угол, который оно образует с плоскостью основания, равен $\alpha$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (гипотенуза), высотой пирамиды $H$ и радиусом $R_{осн}$ окружности, описанной около основания пирамиды (катеты).

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике находим:

Высота пирамиды: $H = a \sin(\alpha)$.

Радиус окружности, описанной около основания: $R_{осн} = a \cos(\alpha)$.

Центр шара, описанного около правильной пирамиды, лежит на ее высоте. Расстояние от центра шара до любой вершины пирамиды равно радиусу шара $R$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $R_{осн}$, частью высоты от центра основания до центра шара, и радиусом шара $R$, который является гипотенузой. Длина катета на высоте будет равна $|H-R|$.

По теореме Пифагора имеем: $R^2 = R_{осн}^2 + (H-R)^2$.

Раскроем скобки и преобразуем уравнение для нахождения $R$: $R^2 = R_{осн}^2 + H^2 - 2HR + R^2$, откуда следует, что $2HR = H^2 + R_{осн}^2$. Таким образом, радиус шара равен: $R = \frac{H^2 + R_{осн}^2}{2H}$.

Подставим найденные ранее выражения для $H$ и $R_{осн}$: $R = \frac{(a \sin\alpha)^2 + (a \cos\alpha)^2}{2(a \sin\alpha)} = \frac{a^2 \sin^2\alpha + a^2 \cos^2\alpha}{2a \sin\alpha} = \frac{a^2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)}{2a \sin\alpha}$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем: $R = \frac{a^2}{2a \sin\alpha} = \frac{a}{2 \sin\alpha}$.

Теперь можем найти объем шара, подставив полученное выражение для радиуса $R$ в формулу объема: $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a}{2 \sin\alpha}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3}{8 \sin^3\alpha} = \frac{4\pi a^3}{24 \sin^3\alpha} = \frac{\pi a^3}{6 \sin^3\alpha}$.

Ответ: $\frac{\pi a^3}{6 \sin^3\alpha}$