Номер 58, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 58, страница 150.

Условие.

19.58. Одна из сторон основания треугольной пирамиды равна 12 см, а противолежащий ей угол основания – $60^\circ$. Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $30^\circ$. Найдите объём конуса, описанного около данной пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку все боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника, лежащего в основании. Конус, описанный около данной пирамиды, имеет ту же вершину, что и пирамида, а его основанием является круг, описанный около основания пирамиды. Таким образом, радиус основания конуса $R$ равен радиусу описанной окружности треугольника в основании, а высота конуса $H$ равна высоте пирамиды.

Для нахождения радиуса $R$ основания конуса воспользуемся следствием из теоремы синусов для треугольника в основании. Нам дана сторона треугольника $a = 12$ см и противолежащий ей угол $\alpha = 60^\circ$.Формула связи радиуса описанной окружности со стороной и противолежащим углом:$ \frac{a}{\sin\alpha} = 2R $Выразим и вычислим радиус $R$:$ R = \frac{a}{2\sin\alpha} = \frac{12}{2\sin60^\circ} = \frac{12}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} $ см.

Теперь найдём высоту конуса $H$. Высота пирамиды $H$, её боковое ребро и радиус $R$ описанной окружности образуют прямоугольный треугольник. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания (по условию $30^\circ$) является углом между боковым ребром (гипотенузой) и радиусом $R$ (катетом). В этом прямоугольном треугольнике высота $H$ является катетом, противолежащим углу $30^\circ$.Связь между катетами и углом выражается через тангенс:$ \tan30^\circ = \frac{H}{R} $Отсюда выразим и вычислим высоту $H$:$ H = R \cdot \tan30^\circ = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 4 $ см.

Наконец, вычислим объём конуса $V$ по стандартной формуле:$ V = \frac{1}{3}\pi R^2 H $Подставим найденные значения $R$ и $H$:$ V = \frac{1}{3}\pi (4\sqrt{3})^2 \cdot 4 = \frac{1}{3}\pi (16 \cdot 3) \cdot 4 = \frac{1}{3}\pi \cdot 48 \cdot 4 = 16 \cdot 4 \cdot \pi = 64\pi $ см³.

Ответ: $64\pi$ см³.