Номер 51, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 51, страница 149.

Условие.

19.51. Радиус основания конуса равен 6 см, а его образующая – 10 см. Найдите объём шара, вписанного в данный конус.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, а сечение шара — окружность, вписанную в этот треугольник.

Обозначим радиус основания конуса как $R$, его образующую как $L$, а высоту как $H$. По условию, $R = 6$ см, $L = 10$ см.Высота конуса $H$, радиус основания $R$ и образующая $L$ образуют прямоугольный треугольник. Найдем высоту конуса по теореме Пифагора:

$H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Радиус $r$ вписанной в равнобедренный треугольник окружности (который является радиусом вписанного в конус шара) можно найти из подобия треугольников. В осевом сечении рассмотрим два прямоугольных треугольника:1. Большой треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей $L$.2. Малый треугольник, образованный частью высоты конуса $(H-r)$, радиусом шара $r$ (как катетом, перпендикулярным образующей) и частью образующей.

Эти треугольники подобны по острому углу (углу при вершине конуса). Из подобия следует соотношение сторон:

$\frac{r}{R} = \frac{H - r}{L}$

Подставим известные значения:

$\frac{r}{6} = \frac{8 - r}{10}$

Решим уравнение относительно $r$:

$10r = 6(8 - r)$
$10r = 48 - 6r$
$16r = 48$
$r = \frac{48}{16} = 3$ см.

Теперь, зная радиус вписанного шара, мы можем найти его объём $V$ по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 4\pi \cdot 9 = 36\pi$ см³.

Ответ: $36\pi$ см³.