Номер 44, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 44, страница 149.

Условие.

19.44. Радиусы оснований усечённого конуса равны $R$ и $r$, $R > r$. Найдите отношение объёма данного усечённого конуса к объёму конуса, частью которого он является.

Решение 1.

Решение 3.

Обозначим объём данного усечённого конуса как $V_{ус}$, а объём полного конуса, частью которого он является, как $V_{полн}$. Усечённый конус получается из полного конуса путём отсечения меньшего конуса (назовём его объём $V_{мал}$) от его вершины.

Таким образом, объём усечённого конуса можно выразить как разность объёмов полного и малого конусов: $V_{ус} = V_{полн} - V_{мал}$.

Нам необходимо найти отношение $\frac{V_{ус}}{V_{полн}}$. Выразим его через объёмы конусов: $\frac{V_{ус}}{V_{полн}} = \frac{V_{полн} - V_{мал}}{V_{полн}} = 1 - \frac{V_{мал}}{V_{полн}}$.

Полный конус и малый отсечённый конус являются подобными геометрическими телами. Коэффициент подобия $k$ для этих конусов равен отношению их соответствующих линейных размеров, например, радиусов оснований. Радиус основания полного конуса — $R$, а малого — $r$. Следовательно, коэффициент подобия: $k = \frac{r}{R}$.

Известно, что отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента их подобия. Поэтому: $\frac{V_{мал}}{V_{полн}} = k^3 = (\frac{r}{R})^3 = \frac{r^3}{R^3}$.

Теперь подставим найденное отношение объёмов малого и полного конусов в нашу основную формулу: $\frac{V_{ус}}{V_{полн}} = 1 - \frac{r^3}{R^3}$.

Приведём выражение к общему знаменателю: $\frac{V_{ус}}{V_{полн}} = \frac{R^3}{R^3} - \frac{r^3}{R^3} = \frac{R^3 - r^3}{R^3}$.

Ответ: $\frac{R^3 - r^3}{R^3}$