Номер 41, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 41, страница 148.

Условие.

19.41. В конус вписан шар, радиус которого равен $r$. Найдите объём конуса, если угол между его образующей и плоскостью основания равен $\alpha$.

Решение 1.

Решение 3.

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$, где $R$ – радиус основания конуса, а $H$ – его высота. Для решения задачи необходимо выразить $R$ и $H$ через заданные величины: радиус вписанного шара $r$ и угол $\alpha$.

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, а сечение шара — вписанную в этот треугольник окружность радиуса $r$.

Пусть $S$ – вершина конуса, $O$ – центр его основания, а $A$ – точка на окружности основания. Тогда $SO = H$ – высота конуса, $OA = R$ – радиус основания, $SA$ – образующая. Треугольник $SOA$ – прямоугольный.

Угол между образующей и плоскостью основания по условию равен $\alpha$. В треугольнике $SOA$ это угол $\angle SAO$, то есть $\angle SAO = \alpha$.

Центр вписанного шара, обозначим его $I$, лежит на оси конуса (на высоте $SO$). Поскольку шар касается основания конуса, расстояние от центра $I$ до основания равно его радиусу, то есть $IO = r$.

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник с углами при основании, равными $\alpha$. Линия, соединяющая вершину при основании (например, точку $A$) с центром вписанной окружности $I$, является биссектрисой этого угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $IOA$. В нём катет $IO=r$, катет $OA=R$. Угол $\angle IAO$ является половиной угла $\alpha$, так как $AI$ – биссектриса угла $\angle SAO$. Таким образом, $\angle IAO = \frac{\alpha}{2}$.

Из треугольника $IOA$ находим соотношение между $R$ и $r$:

$\tan(\angle IAO) = \frac{IO}{OA} \implies \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r}{R}$

Отсюда выражаем радиус основания конуса $R$:

$R = \frac{r}{\tan(\frac{\alpha}{2})} = r \cot(\frac{\alpha}{2})$

Теперь найдем высоту конуса $H$. Из прямоугольного треугольника $SOA$ имеем:

$\tan(\angle SAO) = \frac{SO}{OA} \implies \tan(\alpha) = \frac{H}{R}$

Отсюда выражаем высоту $H$:

$H = R \tan(\alpha)$

Подставим в это выражение найденное значение $R$:

$H = r \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan(\alpha)$

Теперь, зная $R$ и $H$, можем вычислить объём конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \left(r \cot(\frac{\alpha}{2})\right)^2 \left(r \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan(\alpha)\right)$

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 \cot^2(\frac{\alpha}{2}) \cdot r \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan(\alpha)$

$V = \frac{1}{3}\pi r^3 \cot^3(\frac{\alpha}{2}) \tan(\alpha)$

Ответ: $V = \frac{1}{3}\pi r^3 \cot^3(\frac{\alpha}{2}) \tan(\alpha)$.