Номер 38, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 38, страница 148.

Условие.

19.38. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, градусная мера дуги которого составляет $120^\circ$. Найдите объём конуса, если площадь его боковой поверхности равна $9\pi \text{ см}^2$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $l$ – образующая конуса, $r$ – радиус его основания, а $h$ – высота. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, радиус которого равен образующей конуса ($l$), а площадь этого сектора равна площади боковой поверхности конуса $S_{бок}$.

Площадь сектора вычисляется по формуле $S_{сектор} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^{\circ}}$, где $R$ – радиус сектора, а $\alpha$ – его центральный угол. В нашем случае $R=l$, $\alpha = 120^{\circ}$, а площадь боковой поверхности $S_{бок} = 9\pi \text{ см}^2$.

Подставим известные значения в формулу площади сектора, чтобы найти образующую $l$:

$S_{бок} = \frac{\pi l^2 \alpha}{360^{\circ}}$

$9\pi = \frac{\pi l^2 \cdot 120^{\circ}}{360^{\circ}}$

$9\pi = \frac{\pi l^2}{3}$

Разделим обе части уравнения на $\pi$ и умножим на 3:

$l^2 = 9 \cdot 3 = 27$

$l = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ см}$

Площадь боковой поверхности конуса также можно найти по формуле $S_{бок} = \pi r l$. Используя это соотношение, найдем радиус основания конуса $r$:

$9\pi = \pi \cdot r \cdot 3\sqrt{3}$

Разделим обе части на $3\pi$:

$r = \frac{9\pi}{3\pi\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \text{ см}$

Высоту конуса $h$ найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей, по теореме Пифагора: $l^2 = r^2 + h^2$.

$h^2 = l^2 - r^2$

$h^2 = (3\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2 = 27 - 3 = 24$

$h = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} \text{ см}$

Наконец, вычислим объём конуса по формуле $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$:

$V = \frac{1}{3} \pi (\sqrt{3})^2 \cdot (2\sqrt{6})$

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3 \cdot 2\sqrt{6}$

$V = 2\pi\sqrt{6} \text{ см}^3$

Ответ: $2\pi\sqrt{6} \text{ см}^3$.