Номер 33, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 33, страница 148.

Условие.

19.33. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $\alpha$, проведена плоскость. Угол между этой плоскостью и плоскостью основания конуса равен $\beta$. Найдите объём конуса, если его образующая равна $b$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр его основания. $SA$ и $SB$ — две образующие, по которым плоскость пересекает конус. Длина этих образующих по условию равна $b$, то есть $SA = SB = b$. Угол между образующими равен $\angle ASB = \alpha$. Сечением конуса является равнобедренный треугольник $SAB$.

Проведем в треугольнике $SAB$ высоту $SM$ к основанию $AB$. Так как треугольник $SAB$ равнобедренный, $SM$ является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $M$ — середина хорды $AB$ и $\angle ASM = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SAM$ ( $\angle SMA = 90^\circ$ ). В нем:
Высота сечения $SM = SA \cdot \cos(\angle ASM) = b \cos(\frac{\alpha}{2})$.
Половина хорды $AM = SA \cdot \sin(\angle ASM) = b \sin(\frac{\alpha}{2})$.

Угол между плоскостью сечения $(SAB)$ и плоскостью основания конуса — это двугранный угол между ними. Линия пересечения этих плоскостей — прямая $AB$. $SM$ — перпендикуляр к $AB$ в плоскости сечения. Соединим центр основания $O$ с точкой $M$. В треугольнике $AOB$, $OA=OB=R$ (радиус основания), поэтому он равнобедренный, и его медиана $OM$ является также высотой, то есть $OM \perp AB$.

Следовательно, угол между перпендикулярами $SM$ и $OM$ к линии пересечения $AB$ и есть линейный угол двугранного угла, который по условию равен $\beta$. Таким образом, $\angle SMO = \beta$.

Рассмотрим треугольник $SOM$. $SO$ — высота конуса $H$, поэтому $SO \perp$ плоскости основания, а значит $SO \perp OM$. Треугольник $SOM$ — прямоугольный с $\angle SOM = 90^\circ$.Из этого треугольника находим высоту конуса $H$ и отрезок $OM$:
$H = SO = SM \cdot \sin(\angle SMO) = b \cos(\frac{\alpha}{2}) \sin(\beta)$.
$OM = SM \cdot \cos(\angle SMO) = b \cos(\frac{\alpha}{2}) \cos(\beta)$.

Теперь найдем радиус основания конуса $R$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOM$ в плоскости основания ( $\angle OMA = 90^\circ$ ). По теореме Пифагора $R^2 = OA^2 = AM^2 + OM^2$. Подставим найденные выражения для $AM$ и $OM$:
$R^2 = (b \sin(\frac{\alpha}{2}))^2 + (b \cos(\frac{\alpha}{2}) \cos(\beta))^2 = b^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2}) + b^2 \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \cos^2(\beta)$.
$R^2 = b^2 (\sin^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \cos^2(\beta))$.

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$. Подставим найденные выражения для $R^2$ и $H$:
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot [b^2 (\sin^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \cos^2(\beta))] \cdot [b \cos(\frac{\alpha}{2}) \sin(\beta)]$.
$V = \frac{1}{3} \pi b^3 \cos(\frac{\alpha}{2}) \sin(\beta) (\sin^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \cos^2(\beta))$.

Выражение в скобках можно упростить, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:
$\sin^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \cos^2(\beta) = 1 - \cos^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \cos^2(\beta) = 1 - \cos^2(\frac{\alpha}{2})(1 - \cos^2(\beta)) = 1 - \cos^2(\frac{\alpha}{2})\sin^2(\beta)$.

Тогда окончательное выражение для объёма:
$V = \frac{1}{3} \pi b^3 \cos(\frac{\alpha}{2}) \sin(\beta) (1 - \cos^2(\frac{\alpha}{2})\sin^2(\beta))$.

Ответ: $V = \frac{1}{3} \pi b^3 \cos(\frac{\alpha}{2}) \sin(\beta) (\sin^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^2(\frac{\alpha}{2}) \cos^2(\beta))$ или в эквивалентной форме $V = \frac{1}{3} \pi b^3 \cos(\frac{\alpha}{2}) \sin(\beta) (1 - \cos^2(\frac{\alpha}{2})\sin^2(\beta))$.