Номер 30, страница 147 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 30, страница 147.

Условие.

19.30. Угол в осевом сечении конуса при его вершине равен $\alpha$, а расстояние от центра основания конуса до образующей равно $m$. Найдите объём конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, вершина которого является вершиной конуса, а основание – диаметром основания конуса. Обозначим вершину конуса как $S$, центр основания как $O$, а точки на окружности основания, образующие диаметр, как $A$ и $B$. Таким образом, осевое сечение – это треугольник $ASB$.

Введём обозначения: $H = SO$ – высота конуса, $R = AO = OB$ – радиус основания, $l = AS = SB$ – длина образующей.

По условию, угол при вершине в осевом сечении равен $\alpha$, то есть $\angle ASB = \alpha$. Высота $SO$ в равнобедренном треугольнике $ASB$ является также биссектрисой, поэтому она делит угол $\angle ASB$ пополам: $\angle ASO = \angle BSO = \frac{\alpha}{2}$.

Расстояние от центра основания $O$ до образующей $SB$ – это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $SB$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $K$. Таким образом, $OK \perp SB$ и, по условию, $OK = m$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$ (угол $\angle SKO = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенуза – $SO = H$, катет $OK = m$, а угол $\angle OSK$ (он же $\angle BSO$) равен $\frac{\alpha}{2}$. Из соотношения сторон в прямоугольном треугольнике следует:

$\sin(\angle OSK) = \frac{OK}{SO}$

$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{m}{H}$

Из этого уравнения выражаем высоту конуса $H$:

$H = \frac{m}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SOB$ (угол $\angle SOB = 90^\circ$). В этом треугольнике катеты – $SO=H$ и $OB=R$. Тангенс угла $\angle BSO$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\angle BSO) = \frac{OB}{SO}$

$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{R}{H}$

Выражаем радиус основания $R$:

$R = H \cdot \tan(\frac{\alpha}{2})$

Подставим в это выражение найденное ранее значение $H$:

$R = \frac{m}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{m}{\sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{m}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$. Подставим в неё полученные выражения для $R$ и $H$:

$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{m}{\cos(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 \cdot \left(\frac{m}{\sin(\frac{\alpha}{2})}\right) = \frac{1}{3} \pi \frac{m^2}{\cos^2(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{m}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$

Упрощая выражение, получаем окончательную формулу для объёма:

$V = \frac{\pi m^3}{3 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos^2(\frac{\alpha}{2})}$

Ответ: $V = \frac{\pi m^3}{3 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos^2(\frac{\alpha}{2})}$.