Номер 28, страница 147 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 28, страница 147.

Условие.

19.28. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, расстояние от плоскости которого до оси цилиндра равно 12 см. Диагональ сечения равна $10\sqrt{5}$ см, а радиус основания цилиндра – 13 см. Найдите объём цилиндра.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения объёма цилиндра необходимо знать его высоту $H$ и радиус основания $R$. Радиус основания нам известен по условию: $R = 13$ см. Нам нужно найти высоту.

Сечение, проведенное параллельно оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая, обозначим ее $a$, является хордой в основании цилиндра.

1. Найдем длину хорды $a$.

Рассмотрим основание цилиндра. Это круг с центром $O$ и радиусом $R=13$ см. Хорда $a$ находится на расстоянии $d=12$ см от центра $O$. Если провести перпендикуляр из центра $O$ к хорде, то он разделит хорду пополам. Этот перпендикуляр, радиус, проведенный к одному из концов хорды, и половина хорды $(\frac{a}{2})$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенуза - это радиус $R$, а катеты - это расстояние $d$ и половина хорды $\frac{a}{2}$.

По теореме Пифагора:

$R^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2$

Подставим известные значения:

$13^2 = 12^2 + (\frac{a}{2})^2$

$169 = 144 + (\frac{a}{2})^2$

$(\frac{a}{2})^2 = 169 - 144 = 25$

$\frac{a}{2} = \sqrt{25} = 5$ см.

Следовательно, вся хорда $a = 2 \cdot 5 = 10$ см.

2. Найдем высоту цилиндра $H$.

Мы установили, что сечение - это прямоугольник со сторонами $a$ и $H$. Нам известна его диагональ $D = 10\sqrt{5}$ см и одна из сторон $a = 10$ см. Стороны прямоугольника и его диагональ связаны теоремой Пифагора:

$D^2 = a^2 + H^2$

Подставим известные значения:

$(10\sqrt{5})^2 = 10^2 + H^2$

$100 \cdot 5 = 100 + H^2$

$500 = 100 + H^2$

$H^2 = 500 - 100 = 400$

$H = \sqrt{400} = 20$ см.

3. Найдем объём цилиндра $V$.

Объём цилиндра вычисляется по формуле:

$V = \pi R^2 H$

Подставим значения $R = 13$ см и $H = 20$ см:

$V = \pi \cdot 13^2 \cdot 20 = \pi \cdot 169 \cdot 20 = 3380\pi$ см³.

Ответ: $3380\pi$ см³.