Номер 35, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 35, страница 148.

Условие.

19.35. Найдите объём тела, полученного в результате вращения треугольника со сторонами 10 см, 17 см и 21 см вокруг прямой, содержащей его большую сторону.

Решение 1.

Решение 3.

Тело, полученное в результате вращения треугольника вокруг одной из его сторон, состоит из двух конусов с общим основанием. Осью вращения является бóльшая сторона треугольника, длина которой равна 21 см. Радиус общего основания этих конусов равен высоте треугольника, опущенной на эту сторону. Сумма высот этих двух конусов равна длине стороны, вокруг которой происходит вращение.

Пусть стороны треугольника $a = 10$ см, $b = 17$ см и $c = 21$ см. Вращение происходит вокруг стороны $c$. Объём тела вращения $V$ можно найти по формуле:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi r^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 (h_1+h_2)$

где $r$ – радиус общего основания (высота треугольника $h_c$, опущенная на сторону $c$), а $h_1+h_2$ – сумма высот конусов, равная стороне $c$. Таким образом, формула для объёма принимает вид:

$V = \frac{1}{3}\pi h_c^2 c$

Для нахождения высоты $h_c$ воспользуемся формулой площади треугольника. Сначала найдём площадь треугольника по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ – полупериметр.

1. Найдём полупериметр треугольника:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{10+17+21}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

2. Найдём площадь треугольника:

$S = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{(3 \cdot 8) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 16 \cdot 49} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$ см².

3. Теперь найдём высоту $h_c$, используя другую формулу площади: $S = \frac{1}{2}c \cdot h_c$.

$84 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot h_c$

$h_c = \frac{84 \cdot 2}{21} = \frac{168}{21} = 8$ см.

Радиус основания конусов $r = h_c = 8$ см.

4. Теперь можем вычислить объём тела вращения:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 c = \frac{1}{3}\pi \cdot 8^2 \cdot 21 = \frac{1}{3}\pi \cdot 64 \cdot 21 = \pi \cdot 64 \cdot 7 = 448\pi$ см³.

Ответ: $448\pi$ см³.