Номер 36, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 36, страница 148.

Условие.

19.36. Равнобокую трапецию с основаниями 1 см и 25 см вращают вокруг прямой, содержащей её большее основание. Найдите объём образовавшегося тела, если известно, что в данную трапецию можно вписать окружность.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD = 25$ см (большее основание) и $BC = 1$ см (меньшее основание). Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей большее основание $AD$.

Тело, образовавшееся в результате вращения, состоит из цилиндра и двух одинаковых конусов по его бокам.

• Цилиндр образуется вращением прямоугольника, сторонами которого являются меньшее основание $BC$ и высота трапеции $h$. Высота этого цилиндра равна длине меньшего основания $b = 1$ см.
• Два конуса образуются вращением двух прямоугольных треугольников, которые получаются, если опустить высоты из вершин меньшего основания на большее.

Найдем высоту и боковую сторону трапеции.

По условию в трапецию можно вписать окружность. Свойство описанного четырехугольника гласит, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для равнобокой трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон.

Пусть $a = 25$ см и $b = 1$ см — длины оснований, а $c$ — длина боковой стороны. Тогда:$a + b = 2c$$25 + 1 = 2c$$2c = 26$$c = 13$ см.

Теперь найдем высоту трапеции $h$. Проведем высоты $BH_1$ и $CH_2$ из вершин $B$ и $C$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезки $AH_1$ и $H_2D$ равны. Длина каждого из них вычисляется по формуле:$AH_1 = \frac{a - b}{2} = \frac{25 - 1}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH_1$. Гипотенуза $AB = c = 13$ см, катет $AH_1 = 12$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $BH_1 = h$:$h^2 = c^2 - (AH_1)^2$$h^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$$h = \sqrt{25} = 5$ см.

Высота трапеции $h$ является радиусом основания цилиндра и конусов ($R = h = 5$ см).

Теперь вычислим объем тела вращения. Объем $V$ равен сумме объема цилиндра ($V_{цил}$) и объемов двух одинаковых конусов ($V_{кон}$).

Объем цилиндра:Высота цилиндра $h_{цил} = BC = b = 1$ см.Радиус основания $R = 5$ см.$V_{цил} = \pi R^2 h_{цил} = \pi \cdot 5^2 \cdot 1 = 25\pi$ см$^3$.

Объем одного конуса:Высота конуса $h_{кон} = AH_1 = 12$ см.Радиус основания $R = 5$ см.$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi R^2 h_{кон} = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi$ см$^3$.

Общий объем тела вращения:$V = V_{цил} + 2 \cdot V_{кон} = 25\pi + 2 \cdot 100\pi = 25\pi + 200\pi = 225\pi$ см$^3$.

Ответ: $225\pi$ см$^3$.