Номер 39, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 39, страница 148.

Условие.

19.39. Развёрткой боковой поверхности конуса является полукруг, радиус которого равен 8 см. Найдите объём конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой сектор круга, который в данном случае является полукругом. Радиус этого полукруга равен образующей конуса ($l$).

Из условия задачи, радиус полукруга равен 8 см, следовательно, образующая конуса $l = 8$ см.

Длина дуги развёртки (полукруга) равна длине окружности основания конуса. Найдём длину дуги полукруга с радиусом $l=8$ см:

$C_{дуги} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi l = \pi l = \pi \cdot 8 = 8\pi$ см.

Длина окружности основания конуса вычисляется по формуле $C_{основания} = 2\pi r$, где $r$ – радиус основания конуса.

Так как $C_{дуги} = C_{основания}$, мы можем приравнять эти значения, чтобы найти радиус основания конуса $r$:

$8\pi = 2\pi r$

$r = \frac{8\pi}{2\pi} = 4$ см.

Теперь найдём высоту конуса $h$. Высота $h$, радиус основания $r$ и образующая $l$ связаны теоремой Пифагора, так как они образуют прямоугольный треугольник, где $l$ является гипотенузой:

$l^2 = r^2 + h^2$

$h^2 = l^2 - r^2$

Подставим известные значения $l=8$ и $r=4$:

$h^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48$

$h = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Наконец, вычислим объём конуса ($V$) по формуле:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

Подставим найденные значения $r$ и $h$:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot 4\sqrt{3} = \frac{1}{3}\pi \cdot 16 \cdot 4\sqrt{3} = \frac{64\pi\sqrt{3}}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{64\pi\sqrt{3}}{3}$ см³.