Номер 45, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 45, страница 149.

Условие.

19.45. Радиусы оснований усечённого конуса равны 4 см и 6 см. Образующую усечённого конуса видно из точки пересечения диагоналей его осевого сечения, проходящего через эту образующую, под углом $60^{\circ}$. Найдите объём усечённого конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения объёма усечённого конуса воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + Rr + r^2)$

где $R$ и $r$ — радиусы оснований, а $H$ — высота конуса. По условию, $R = 6$ см и $r = 4$ см. Следовательно, для вычисления объёма необходимо найти высоту $H$.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию. Обозначим вершины трапеции $ABCD$ так, что $AD$ и $BC$ — её основания (диаметры оснований конуса), а $AB$ и $CD$ — боковые стороны (образующие конуса). Тогда $AD = 2R = 12$ см, а $BC = 2r = 8$ см. Пусть $l$ — длина образующей ($l=AB=CD$).

Диагонали трапеции $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию, образующая видна из точки $O$ под углом $60^\circ$. Это означает, что угол, образованный отрезками, соединяющими точку $O$ с концами образующей, равен $60^\circ$. Например, $\angle AOB = 60^\circ$.

Треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$ подобны, так как образованы пересекающимися диагоналями и параллельными основаниями трапеции ($AD \parallel BC$). Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин оснований:

$k = \frac{AD}{BC} = \frac{2R}{2r} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Соответствующие стороны подобных треугольников относятся с тем же коэффициентом:

$\frac{OA}{OC} = \frac{OD}{OB} = k = \frac{3}{2}$

Поскольку трапеция равнобокая, её диагонали равны ($AC = BD$). Из этого следует, что $OA = OD$ и $OB = OC$.

Используя эти равенства и соотношение подобия, выразим сторону $OA$ через $OB$:

$OA = OD = k \cdot OB = \frac{3}{2}OB$

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $\triangle AOB$, в котором $AB = l$ и $\angle AOB = 60^\circ$:

$l^2 = AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(60^\circ)$

$l^2 = (\frac{3}{2}OB)^2 + OB^2 - 2 \cdot (\frac{3}{2}OB) \cdot OB \cdot \frac{1}{2}$

$l^2 = \frac{9}{4}OB^2 + OB^2 - \frac{3}{2}OB^2 = (\frac{9}{4} + \frac{4}{4} - \frac{6}{4})OB^2 = \frac{7}{4}OB^2$

Для нахождения высоты $H$ найдём ещё два выражения для $l^2$ и $OB^2$. Проведём высоту трапеции из вершины $B$ к основанию $AD$ в точку $B_1$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABB_1$ катет $AB_1 = \frac{AD-BC}{2} = \frac{12-8}{2} = 2$ см, а катет $BB_1 = H$. По теореме Пифагора:

$l^2 = H^2 + (AB_1)^2 = H^2 + 4$

Теперь выразим $OB^2$ через $H$. Проведём высоту трапеции через точку $O$. Пусть она пересекает основание $BC$ в точке $N$. $N$ — середина $BC$, а $ON$ — высота в равнобедренном треугольнике $\triangle BOC$. Высота трапеции $H$ делится точкой $O$ в отношении $k=3/2$. Высота $ON$ относится к меньшому основанию, поэтому $ON = \frac{1}{k+1}H = \frac{1}{3/2+1}H = \frac{2}{5}H$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ONB$ катеты $ON = \frac{2}{5}H$ и $NB = \frac{BC}{2} = 4$ см. По теореме Пифагора:

$OB^2 = ON^2 + NB^2 = (\frac{2}{5}H)^2 + 4^2 = \frac{4}{25}H^2 + 16$

Подставим полученные выражения для $l^2$ и $OB^2$ в уравнение $l^2 = \frac{7}{4}OB^2$:

$H^2 + 4 = \frac{7}{4}(\frac{4}{25}H^2 + 16)$

$H^2 + 4 = \frac{7}{25}H^2 + 28$

$H^2 - \frac{7}{25}H^2 = 28 - 4$

$\frac{18}{25}H^2 = 24$

$H^2 = \frac{24 \cdot 25}{18} = \frac{4 \cdot 25}{3} = \frac{100}{3}$

$H = \sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь, зная высоту, вычисляем объём усечённого конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{10\sqrt{3}}{3} (6^2 + 6 \cdot 4 + 4^2) = \frac{10\pi\sqrt{3}}{9} (36 + 24 + 16)$

$V = \frac{10\pi\sqrt{3}}{9} \cdot 76 = \frac{760\pi\sqrt{3}}{9}$

Ответ: $\frac{760\pi\sqrt{3}}{9}$ см$^3$.