Номер 52, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 52, страница 149.

Условие.

19.52. Найдите объём шара, вписанного в правильную треугольную призму, сторона основания которой равна $2\sqrt{3}$ см.

Решение 1.

Решение 3.

Для того чтобы найти объём шара, необходимо знать его радиус $R$. Формула объёма шара:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Шар, вписанный в правильную треугольную призму, касается всех её граней (двух оснований и трёх боковых граней). Это означает, что центр шара равноудалён от всех граней призмы.

Из условия касания оснований следует, что высота призмы $H$ равна диаметру шара, то есть $H = 2R$.

Из условия касания боковых граней следует, что радиус шара $R$ равен радиусу $r$ окружности, вписанной в основание призмы (в правильный треугольник). Таким образом, $R = r$.

Найдём радиус окружности, вписанной в основание. Основание призмы — это правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 2\sqrt{3}$ см.

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, вычисляется по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны $a$ в формулу:

$r = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1$ см

Следовательно, радиус вписанного шара $R = r = 1$ см.

Теперь можем вычислить объём шара:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (1)^3 = \frac{4}{3}\pi$ см³.

Ответ: $\frac{4}{3}\pi$ см³.