Номер 53, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 53, страница 149.

Условие.

19.53. Высота конуса равна $H$, а его осевое сечение является правильным треугольником. Найдите объём шара, описанного около данного конуса.

Решение 1.

Решение 3.

По условию задачи, высота конуса равна $H$, а его осевое сечение является правильным треугольником.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, вершина которого является вершиной конуса, а основание — диаметром основания конуса. Поскольку это сечение — правильный (равносторонний) треугольник, то его высота совпадает с высотой конуса $H$.

Шар, описанный около конуса, также является описанным и около его осевого сечения. Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса окружности, описанной около равностороннего треугольника с высотой $H$.

В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Известно, что точка пересечения медиан (центроид) делит каждую медиану (в данном случае, высоту) в отношении 2:1, считая от вершины.

Радиус $R$ описанной окружности (и, следовательно, описанного шара) равен расстоянию от центра до вершины треугольника. Это расстояние составляет $2/3$ от длины высоты треугольника.

Следовательно, радиус шара $R$ можно выразить через высоту конуса $H$:
$R = \frac{2}{3}H$

Теперь найдем объём шара, используя формулу объёма шара $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Подставим в нее найденное выражение для радиуса $R$:

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{2}{3}H\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{8H^3}{27}\right) = \frac{4 \cdot 8}{3 \cdot 27}\pi H^3 = \frac{32\pi H^3}{81}$

Ответ: $\frac{32\pi H^3}{81}$