Номер 56, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 56, страница 150.

Условие.

19.56. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, параллельные стороны которой равны 2 см и 8 см. Диагональ призмы равна $3\sqrt{10}$ см. Найдите объём цилиндра, вписанного в данную призму.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения объёма вписанного цилиндра необходимо найти его радиус основания $R$ и высоту $H$. Объём вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi R^2 H$.

Поскольку цилиндр вписан в прямую призму, его высота $H$ равна высоте призмы, а его основание (окружность) вписано в основание призмы (равнобокую трапецию).

1. Нахождение параметров трапеции и радиуса основания цилиндра.

Основанием призмы является равнобокая трапеция с параллельными сторонами (основаниями) $a = 8$ см и $b = 2$ см.
Условие, при котором в четырехугольник можно вписать окружность, — это равенство сумм длин противоположных сторон. Для равнобокой трапеции с боковой стороной $c$ это означает:
$a + b = c + c = 2c$
$8 + 2 = 2c \implies 10 = 2c \implies c = 5$ см.

Высота трапеции $h_{тр}$ равна диаметру вписанной окружности. Найдем высоту трапеции. Для этого опустим высоту из вершины меньшего основания на большее. Эта высота образует прямоугольный треугольник, где гипотенуза — это боковая сторона $c$, а один из катетов — полуразность оснований.
Длина этого катета: $\frac{a - b}{2} = \frac{8 - 2}{2} = 3$ см.
По теореме Пифагора найдем высоту $h_{тр}$:
$h_{тр} = \sqrt{c^2 - (\frac{a-b}{2})^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

Радиус вписанной окружности $R$ (и радиус основания цилиндра) равен половине высоты трапеции:
$R = \frac{h_{тр}}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

2. Нахождение высоты призмы.

Высота призмы $H$ связана с диагональю призмы $D$ и диагональю основания $d_{тр}$ по теореме Пифагора: $D^2 = H^2 + d_{тр}^2$.
Сначала найдем квадрат диагонали трапеции $d_{тр}^2$. Диагональ трапеции является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота трапеции $h_{тр}$ и отрезок большего основания. Длина этого отрезка равна $a - \frac{a-b}{2} = 8 - 3 = 5$ см.
$d_{тр}^2 = h_{тр}^2 + (a - \frac{a-b}{2})^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$.

Теперь найдем высоту призмы $H$, используя данную диагональ призмы $D = 3\sqrt{10}$ см:
$H^2 = D^2 - d_{тр}^2$
$H^2 = (3\sqrt{10})^2 - 41 = 9 \cdot 10 - 41 = 90 - 41 = 49$
$H = \sqrt{49} = 7$ см.

3. Вычисление объёма цилиндра.

Мы нашли все необходимые параметры:
Радиус основания цилиндра $R = 2$ см.
Высота цилиндра $H = 7$ см.
Вычисляем объём:
$V_{цил} = \pi R^2 H = \pi \cdot 2^2 \cdot 7 = \pi \cdot 4 \cdot 7 = 28\pi$ см³.
Ответ: $28\pi$ см³.