Номер 62, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 62, страница 150.

Условие.

19.62. В усечённый конус вписан шар, радиус которого равен $r$. Диаметр большего основания усечённого конуса виден из центра вписанного шара под углом $\alpha$. Найдите объём усечённого конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса, которое представляет собой равнобокую трапецию с вписанной в нее окружностью. Радиус этой окружности равен радиусу вписанного шара $r$. Высота усеченного конуса $H$ равна диаметру вписанного шара, следовательно, $H = 2r$.

Пусть $R$ и $R_1$ — радиусы большего и меньшего оснований конуса соответственно, а $O$ — центр вписанного шара. Центр шара $O$ лежит на оси конуса и равноудален от его оснований на расстояние $r$.

По условию, диаметр большего основания виден из центра шара $O$ под углом $\alpha$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом большего основания $R$, отрезком оси конуса от центра шара до большего основания (длиной $r$) и отрезком, соединяющим центр шара с точкой на окружности большего основания. Угол в этом треугольнике при вершине $O$ равен $\frac{\alpha}{2}$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике находим $R$:
$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{R}{r}$
$R = r \tan(\frac{\alpha}{2})$

Для усеченного конуса, в который можно вписать шар, существует свойство, что произведение радиусов его оснований равно квадрату радиуса вписанного шара: $R \cdot R_1 = r^2$. Докажем это. Для описанной около окружности равнобокой трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон. Если $L$ - образующая конуса (боковая сторона трапеции), то $2R + 2R_1 = 2L$, откуда $L = R + R_1$. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой трапеции $H=2r$, образующей $L$ и отрезком $R-R_1$, по теореме Пифагора имеем $L^2 = H^2 + (R-R_1)^2$. Подставив выражения для $L$ и $H$, получаем:
$(R+R_1)^2 = (2r)^2 + (R-R_1)^2$
$R^2 + 2RR_1 + R_1^2 = 4r^2 + R^2 - 2RR_1 + R_1^2$
$4RR_1 = 4r^2$
$RR_1 = r^2$

Теперь найдем радиус меньшего основания $R_1$:
$R_1 = \frac{r^2}{R} = \frac{r^2}{r \tan(\frac{\alpha}{2})} = r \cot(\frac{\alpha}{2})$

Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + R R_1 + R_1^2)$

Подставим найденные значения $H=2r$, $R=r \tan(\frac{\alpha}{2})$, $R_1=r \cot(\frac{\alpha}{2})$ и $RR_1=r^2$ в формулу объёма:
$V = \frac{1}{3} \pi (2r) \left( (r \tan(\frac{\alpha}{2}))^2 + r^2 + (r \cot(\frac{\alpha}{2}))^2 \right)$
$V = \frac{2\pi r}{3} \left( r^2 \tan^2(\frac{\alpha}{2}) + r^2 + r^2 \cot^2(\frac{\alpha}{2}) \right)$
$V = \frac{2\pi r^3}{3} \left( \tan^2(\frac{\alpha}{2}) + 1 + \cot^2(\frac{\alpha}{2}) \right)$

Упростим тригонометрическое выражение в скобках:
$\tan^2(\frac{\alpha}{2}) + 1 + \cot^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\sin^2(\frac{\alpha}{2})}{\cos^2(\frac{\alpha}{2})} + 1 + \frac{\cos^2(\frac{\alpha}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = \frac{\sin^4(\frac{\alpha}{2}) + \sin^2(\frac{\alpha}{2})\cos^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^4(\frac{\alpha}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})\cos^2(\frac{\alpha}{2})}$

Используя тождество $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$, преобразуем числитель:
$1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})\cos^2(\frac{\alpha}{2}) + \sin^2(\frac{\alpha}{2})\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 1 - \sin^2(\frac{\alpha}{2})\cos^2(\frac{\alpha}{2})$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin \alpha = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$, преобразуем знаменатель:
$\sin^2(\frac{\alpha}{2})\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = \left(\frac{\sin \alpha}{2}\right)^2 = \frac{\sin^2 \alpha}{4}$

Таким образом, всё тригонометрическое выражение равно:
$\frac{1 - \frac{\sin^2 \alpha}{4}}{\frac{\sin^2 \alpha}{4}} = \frac{\frac{4 - \sin^2 \alpha}{4}}{\frac{\sin^2 \alpha}{4}} = \frac{4 - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$

Подставляем полученное выражение в формулу для объёма:
$V = \frac{2\pi r^3}{3} \left( \frac{4 - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \right) = \frac{2\pi r^3 (4 - \sin^2 \alpha)}{3 \sin^2 \alpha}$

Ответ: $V = \frac{2\pi r^3 (4 - \sin^2 \alpha)}{3 \sin^2 \alpha}$