Номер 59, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 19. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 59, страница 150.

Условие.

19.59. Основанием пирамиды является ромб со стороной $a$ и углом $\alpha$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду, если угол между его образующей и плоскостью основания пирамиды равен $\beta$.

Решение 1.

Решение 3.

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$, где $R$ – радиус основания конуса, а $H$ – его высота.

Так как конус вписан в пирамиду, его основание (окружность) вписано в основание пирамиды (ромб). Радиус окружности, вписанной в ромб, равен половине его высоты $h$. Высоту ромба можно найти через его сторону $a$ и угол $\alpha$: $h = a \sin(\alpha)$. Следовательно, радиус основания конуса равен:$R = \frac{h}{2} = \frac{a \sin(\alpha)}{2}$.

Высота конуса $H$ связана с радиусом основания $R$ и углом $\beta$ между образующей и плоскостью основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $R$ и образующей. Угол между образующей и плоскостью основания — это угол между образующей и радиусом, который равен $\beta$. В этом треугольнике $H$ и $R$ являются катетами. Тогда:$\tan(\beta) = \frac{H}{R}$, откуда $H = R \tan(\beta)$.

Подставим найденное ранее выражение для $R$:$H = \frac{a \sin(\alpha)}{2} \tan(\beta)$.

Теперь подставим выражения для $R$ и $H$ в формулу для объёма конуса:$V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a \sin(\alpha)}{2}\right)^2 \left(\frac{a \sin(\alpha)}{2} \tan(\beta)\right) = \frac{1}{3}\pi \frac{a^2 \sin^2(\alpha)}{4} \frac{a \sin(\alpha) \tan(\beta)}{2} = \frac{\pi a^3 \sin^3(\alpha) \tan(\beta)}{24}$.

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \sin^3(\alpha) \tan(\beta)}{24}$.